Exercice 2 · Bac Mathématiques Amérique du Sud 2022 (jour 2)

EXERCICE 2 (7 points) [Fonctions, fonction logarithme]

Le but de cet exercice est d'étudier la fonction $f$, définie sur $]0; +\infty[$, par: $$f(x) = 3x - x\ln(x) - 2\ln(x)$$

PARTIE A: Étude d'une fonction auxiliaire $g$

Soit $g$ la fonction définie sur $]0; +\infty[$ par $g(x) = 2(x - 1) - x\ln(x)$. On note $g'$ la fonction dérivée de $g$. On admet que $\lim_{x \to +\infty} g(x) = -\infty$.

1.

Calculer $g(1)$ et $g(\mathrm{e})$.

2.

Déterminer $\lim_{x \to 0} g(x)$ en justifiant votre démarche.

3.

Montrer que, pour tout $x > 0$, $g'(x) = 1 - \ln(x)$. En déduire le tableau des variations de $g$ sur $]0; +\infty[$.

4.

Montrer que l'équation $g(x) = 0$ admet exactement deux solutions distinctes sur $]0; +\infty[$: $1$ et $\alpha$ avec $\alpha$ appartenant à l'intervalle $[\mathrm{e}; +\infty[$. On donnera un encadrement de $\alpha$ à $0{,}01$ près.

5.

En déduire le tableau de signes de $g$ sur $]0; +\infty[$.

PARTIE B: Étude de la fonction $f$

On considère dans cette partie la fonction $f$, définie sur $]0; +\infty[$, par $$f(x) = 3x - x\ln(x) - 2\ln(x)$$ On note $f'$ la fonction dérivée de $f$. La représentation graphique $\mathcal{C}_f$ de cette fonction $f$ est donnée dans le repère $(O; \vec{i}, \vec{j})$ ci-dessous. On admet que: $\lim_{x \to 0} f(x) = +\infty$.

1.

Déterminer la limite de $f$ en $+\infty$ en justifiant votre démarche.

2. a.

Justifier que pour tout $x > 0$, $f'(x) = \dfrac{g(x)}{x}$.

2. b.

En déduire le tableau des variations de $f$ sur $]0; +\infty[$.

3.

On admet que, pour tout $x > 0$, la dérivée seconde de $f$, notée $f''$, est définie par $$f''(x) = \dfrac{2 - x}{x^2}$$ Étudier la convexité de $f$ et préciser les coordonnées du point d'inflexion de $\mathcal{C}_f$.