Exercice 4 - Compléments sur la dérivation · Bac Mathématiques Amérique du Sud 2025 (jour 2)

Partie C: étude de fonction

On propose d'étudier dans cette partie la fonction $f$ rencontrée à la question partie B.2 On rappelle que, pour tout réel $x$, $f(x) = (6x^2 + 2x - 2)\mathrm{e}^{-5x+1}$.

On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$. On appelle $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative de $f$ dans un repère du plan.

1.

On admet que $\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0$. Déterminer la limite de la fonction $f$ en $-\infty$.

2.

En utilisant la partie A, montrer que $\mathcal{C}_f$ coupe l'axe des abscisses en deux points (les coordonnées de ces points ne sont pas attendues).

3.

En utilisant les parties A et B, montrer que $\mathcal{C}_f$ possède deux tangentes horizontales.

4.

Dresser le tableau de variation complet de la fonction $f$. Préciser les extremums locaux.

5.

Déterminer en justifiant le nombre de solution(s) de l'équation $f(x) = 1$.