Exercice 1 - Partie B · Bac Mathématiques Amérique du Nord 2021 (jour 1)

Thème : Succession d'épreuves indépendantes, schéma de Bernoulli et loi binomiale · Tiré du sujet Jour 1 (2021)

Énoncé

Exercice 1 commun à tous les candidats (5 points)

Les probabilités demandées dans cet exercice seront arrondies à 10−310^{-3}.

Un laboratoire pharmaceutique vient d'élaborer un nouveau test anti-dopage.

Partie B

Dans une compétition sportive, on admet que la probabilité qu'un athlète contrôlé présente un test positif est 0,103.

1.

Dans cette question 1., on suppose que les organisateurs décident de contrôler 5 athlètes au hasard parmi les athlètes de cette compétition. On note XX la variable aléatoire égale au nombre d'athlètes présentant un test positif parmi les 5 athlètes contrôlés.

a.

Donner la loi suivie par la variable aléatoire XX. Préciser ses paramètres.

b.

Calculer l'espérance E(X)E(X) et interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.

c.

Quelle est la probabilité qu'au moins un des 5 athlètes contrôlés présente un test positif ?

2.

Combien d'athlètes faut-il contrôler au minimum pour que la probabilité de l'événement « au moins un athlète contrôlé présente un test positif » soit supérieure ou égale à 0,75 ? Justifier.

Énoncé: Exercice 1 - Partie B · Bac Mathématiques Amérique du Nord 2021 (jour 1)

Corrigé

Corrigé établi d’après les éléments de correction officiels

1. a. Donner la loi suivie par la variable aléatoire X. Préciser ses paramètres.

Réponse : Loi binomiale B(5;0,103)\mathcal{B}(5 ; 0{,}103)

1. b. Calculer l'espérance E(X) et interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.

Réponse : E(X)=0,515E(X) = 0{,}515

1. b. Interprétation du résultat

Réponse : Sur un très grand nombre d'échantillons de 5 athlètes, on trouve en moyenne 0,515 athlète positif.

1. c. Quelle est la probabilité qu'au moins un des 5 athlètes contrôlés présente un test positif ?

Réponse : 0,4190{,}419

2. Combien d'athlètes faut-il contrôler au minimum pour que la probabilité de l'événement « au moins un athlète contrôlé présente un test positif » soit supérieure ou égale à 0,75 ? Justifier.

Réponse : 1313

2. Justification de la résolution

Réponse : 1−0,897n≥0,75  ⟺  0,897n≤0,25  ⟺  n≥ln⁡(0,25)ln⁡(0,897)≈12,761 - 0{,}897^n \ge 0{,}75 \iff 0{,}897^n \le 0{,}25 \iff n \ge \frac{\ln(0{,}25)}{\ln(0{,}897)} \approx 12{,}76, donc n=13n=13.

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