Exercice 1 - Schéma de Bernoulli et loi binomiale · Bac Mathématiques Amérique du Nord 2022 (jour 1)

EXERCICE 1 (7 points) — Thème: probabilités

Chaque jour où il travaille, Paul doit se rendre à la gare pour rejoindre son lieu de travail en train. Pour cela, il prend son vélo deux fois sur trois et, s’il ne prend pas son vélo, il prend sa voiture.

2. On choisit au hasard un mois pendant lequel Paul s'est rendu 20 jours à la gare pour rejoindre son lieu de travail selon les modalités décrites en préambule. On suppose que, pour chacun de ces 20 jours, le choix entre le vélo et la voiture est indépendant des choix des autres jours.

On note $X$ la variable aléatoire donnant le nombre de jours où Paul prend son vélo sur ces 20 jours.

a.

Déterminer la loi suivie par la variable aléatoire $X$. Préciser ses paramètres.

b.

Quelle est la probabilité que Paul prenne son vélo exactement 10 jours sur ces 20 jours pour se rendre à la gare ? On arrondira la probabilité cherchée à $10^{-3}$.

c.

Quelle est la probabilité que Paul prenne son vélo au moins 10 jours sur ces 20 jours pour se rendre à la gare ? On arrondira la probabilité cherchée à $10^{-3}$.

d.

En moyenne, combien de jours sur une période choisie au hasard de 20 jours pour se rendre à la gare, Paul prend-il son vélo ? On arrondira la réponse à l'entier.