Exercice 1 - Partie B : Loi binomiale · Bac Mathématiques Amérique du Nord 2023 (jour 1)

Exercice 1 (5 points)

Dans un souci d'améliorer sa politique en matière de développement durable, une entreprise a réalisé une enquête statistique sur sa production de déchets.

Dans cette enquête, les déchets sont classés en trois catégories:

69 % des déchets sont minéraux et non dangereux;

28 % des déchets sont non minéraux et non dangereux;

les déchets restants sont des déchets dangereux.

Cette enquête statistique nous apprend également que:

73 % des déchets minéraux et non dangereux sont recyclables;

49 % des déchets non minéraux et non dangereux sont recyclables;

35 % des déchets dangereux sont recyclables.

Les parties A et B sont indépendantes et peuvent être traitées séparément.

Partie B

On rappelle que la probabilité qu'un déchet prélevé au hasard soit recyclable est égale à $0{,}6514$.

1.

Afin de contrôler la qualité de la collecte dans l'entreprise, on prélève un échantillon de 20 déchets pris au hasard dans la production. On suppose que le stock est suffisamment important pour assimiler le prélèvement de cet échantillon à un tirage avec remise.

On désigne par $X$ la variable aléatoire égale au nombre de déchets recyclables dans cet échantillon.

a.

On admet que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale. Préciser ses paramètres.

b.

Donner la probabilité que l'échantillon contienne exactement 14 déchets recyclables. On donnera la valeur arrondie au dix-millième.

2.

Dans cette question, on prélève désormais $n$ déchets, où $n$ désigne un entier naturel strictement positif.

a.

Donner l'expression en fonction de $n$ de la probabilité $p_n$ qu'aucun déchet de cet échantillon ne soit recyclable.

b.

Déterminer la valeur de l'entier naturel $n$ à partir de laquelle la probabilité qu'au moins un déchet du prélèvement soit recyclable est supérieure ou égale à $0{,}9999$.