Exercice 1 - Probabilités conditionnelles · Bac Mathématiques Amérique du Nord 2026 (jour 1)

Une plateforme de diffusion musicale propose trois types d'abonnements: « Étudiant », « Classique » et « Famille ». Elle propose également une option « Écoute hors-ligne » qu'on peut activer pour chaque type d'abonnement et qui permet de télécharger de la musique.

Une étude statistique menée sur les abonnés a permis d'établir que:

25 % des abonnés ont choisi l'abonnement « Étudiant » et 15 % ont choisi l'abonnement « Famille »;

45 % des abonnés « Étudiant » ont activé l'option « Écoute hors-ligne »;

30 % des abonnés « Classique » ont activé l'option « Écoute hors-ligne »;

12 % des abonnés ont choisi l'abonnement « Famille » et ont activé l'option « Écoute hors-ligne ».

On prélève au hasard le profil d'un abonné et on considère les événements suivants:

$E$: l'abonné a choisi l'abonnement « Étudiant »;

$C$: l'abonné a choisi l'abonnement « Classique »;

$F$: l'abonné a choisi l'abonnement « Famille »;

$H$: l'abonné a activé l'option « Écoute hors-ligne ».

Partie A

1.

Recopier l'arbre de probabilités suivant, en complétant les pointillés:

$P(E) =$

$P(C) =$

$P(F) =$

$P_E(H) =$

$P_E(\overline{H}) =$

$P_C(H) =$

$P_C(\overline{H}) =$

$P_F(H) =$

$P_F(\overline{H}) =$

2.

Calculer la valeur exacte de $P(E \cap H)$.

$P(E \cap H) =$

3.

Démontrer que la probabilité qu'un abonné ait activé l'option « Écoute hors-ligne » est de $0{,}4125$.

4.

Un abonné a activé l'option « Écoute hors-ligne ». Déterminer la probabilité qu'il ait choisi l'abonnement « Étudiant ». On arrondira le résultat au millième.

$P_H(E) \approx$