Exercice 1 - Probabilités conditionnelles · Bac Mathématiques Amérique du Nord 2025 (jour 1)

Exercice 1 (6 points)

Pour accéder au réseau privé d'une entreprise depuis l'extérieur, les connexions des employés transitent aléatoirement via trois serveurs distants différents, notés A, B et C. Ces serveurs ont des caractéristiques techniques différentes et les connexions se répartissent de la manière suivante:

25 % des connexions transitent via le serveur A;

15 % des connexions transitent via le serveur B;

le reste des connexions s'effectue via le serveur C.

Les connexions à distance sont parfois instables et, lors du fonctionnement normal des serveurs, les utilisateurs peuvent subir des déconnexions pour différentes raisons (saturation des serveurs, débit internet insuffisant, attaques malveillantes, mises à jour de logiciels, etc.).

On dira qu'une connexion est stable si l'utilisateur ne subit pas de déconnexion après son identification aux serveurs. L'équipe de maintenance informatique a observé statistiquement que, dans le cadre d'un fonctionnement habituel des serveurs:

90 % des connexions via le serveur A sont stables;

80 % des connexions via le serveur B sont stables;

85 % des connexions via le serveur C sont stables.

Les parties A et B sont indépendantes l'une de l'autre et peuvent être traitées séparément.

Partie A

On s'intéresse au hasard à l'état d'une connexion effectuée par un employé de l'entreprise.

On considère les événements suivants:

$A$: « La connexion s'est effectuée via le serveur A »;

$B$: « La connexion s'est effectuée via le serveur B »;

$C$: « La connexion s'est effectuée via le serveur C »;

$S$: « La connexion est stable ».

On note $\overline{S}$ l'événement contraire de l'événement $S$.

1.

Recopier et compléter l'arbre pondéré ci-dessous modélisant la situation de l'énoncé.

2.

Démontrer que la probabilité que la connexion soit stable et passe par le serveur B est égale à 0,12.

3.

Calculer la probabilité $P(C \cap \overline{S})$ et interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.

4.

Démontrer que la probabilité de l'événement $S$ est $P(S) = 0,855$.

5.

On suppose désormais que la connexion est stable. Calculer la probabilité que la connexion ait eu lieu depuis le serveur B. On donnera la valeur arrondie au millième.