Abitur Thüringen Mathematik 2021 · LK · Teil B · Stochastik (CAS)

Ein Unternehmen produziert Stahlkugeln für Kugellager. Erfahrungsgemäß sind $4\,\%$ aller Kugeln fehlerhaft.

800 Kugeln werden zufällig ausgewählt. Die Anzahl der fehlerhaften Kugeln unter den ausgewählten kann durch eine binomialverteilte Zufallsgröße beschrieben werden.

a

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter den ausgewählten Kugeln weniger als 30 fehlerhaft sind. [2 BE]

%

b

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Anzahl der fehlerhaften Kugeln unter den ausgewählten höchstens um eine halbe Standardabweichung vom Erwartungswert dieser Anzahl abweicht. [5 BE]

%

g

Die Kugeln werden in Packungen verkauft. Ein Teil der verkauften Packungen wird zurückgegeben. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine verkaufte Packung zurückgegeben wird, beträgt $3\,\%$. Dem Unternehmen entsteht pro Packung, die zurückgegeben wird, ein Verlust von $5{,}80\text{ Euro}$; pro Packung, die nicht zurückgegeben wird, erzielt das Unternehmen einen Gewinn von $8{,}30\text{ Euro}$. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, mit der das Unternehmen bei einem Verkauf von 200 Packungen einen Gesamtgewinn von mindestens $1500\text{ Euro}$ erzielt. [4 BE]

%

Ein Unternehmen produziert Stahlkugeln für Kugellager. Erfahrungsgemäß sind $4\,\%$ aller Kugeln fehlerhaft.

800 Kugeln werden zufällig ausgewählt. Die Anzahl der fehlerhaften Kugeln unter den ausgewählten kann durch eine binomialverteilte Zufallsgröße beschrieben werden.

Eine fehlerhafte Kugel hat entweder einen Formfehler oder einen Größenfehler. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Kugel einen Formfehler hat, beträgt $3\,\%$. Alle Kugeln werden vor dem Verpacken geprüft. Dabei werden $95\,\%$ der Kugeln mit Formfehler, $98\,\%$ der Kugeln mit Größenfehler, aber auch $0{,}5\,\%$ der Kugeln ohne Fehler aussortiert.

c

Stellen Sie den Sachzusammenhang in einem beschrifteten Baumdiagramm dar. [4 BE]

d

Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine aussortierte Kugel keinen Formfehler hat. [3 BE]

Ein Unternehmen produziert Stahlkugeln für Kugellager. Erfahrungsgemäß sind $4\,\%$ aller Kugeln fehlerhaft.

800 Kugeln werden zufällig ausgewählt. Die Anzahl der fehlerhaften Kugeln unter den ausgewählten kann durch eine binomialverteilte Zufallsgröße beschrieben werden.

Aufgrund zunehmender Reklamationen wird vermutet, dass der Anteil der fehlerhaften Kugeln auf über $4\,\%$ angestiegen ist. Um diese Vermutung zu prüfen, soll die Nullhypothese „Der Anteil der fehlerhaften Kugeln beträgt höchstens $4\,\%$.“ auf der Grundlage einer Stichprobe von 500 Kugeln getestet werden. Wenn das Ergebnis des Tests die Vermutung nicht entkräftet, soll die Produktion unterbrochen werden, um die Maschinen zu warten. Das Risiko, die Produktion irrtümlich zu unterbrechen, soll höchstens $3\,\%$ betragen.

e

Beschreiben Sie für diesen Test im Sachzusammenhang den Fehler zweiter Art. Geben Sie die Konsequenz an, die sich aus diesem Fehler für die Produktion ergeben würde. [3 BE]

f

Für den beschriebenen Test wird der Ablehnungsbereich betrachtet. Eine der beiden Grenzen dieses Ablehnungsbereichs ist größer als 0 und kleiner als 500; diese Grenze wird mit $k$ bezeichnet. Zur Bestimmung des Werts von $k$ soll die binomialverteilte Zufallsgröße $Y$ mit den Parametern $n = 500$ und $p = 0{,}04$ verwendet werden. Begründen Sie, dass keine der beiden Ungleichungen I und II den korrekten Wert von $k$ liefert. [4 BE]

$$\text{I } P(Y \le k) \le 0{,}03 \qquad\qquad \text{II } P(Y \le k) > 0{,}97$$

Ihre Antworten wurden abgegeben. Vergleichen Sie Ihre Begründungen mit der Musterlösung.

Für ein Land wird die Bevölkerungsgruppe der Erwachsenen betrachtet. In dieser Bevölkerungsgruppe beträgt der Anteil der Internetnutzer 88 %; der Anteil derjenigen, die mindestens 65 Jahre alt sind und das Internet nutzen, beträgt 17 %. Die betrachtete Bevölkerungsgruppe besteht aus 60,7 Millionen Personen, von denen 16,4 Millionen mindestens 65 Jahre alt sind.

Aus der betrachteten Bevölkerungsgruppe wird eine Person zufällig ausgewählt. Untersucht werden folgende Ereignisse:

$A$: „Die Person nutzt das Internet.“

$B$: „Die Person ist mindestens 65 Jahre alt.“

a)

Stellen Sie den Sachzusammenhang in einer vollständig ausgefüllten Vierfeldertafel dar.

[3 BE]

$A$

$\overline{A}$

Summe

$B$

$\overline{B}$

Summe

100 %

b)

Untersuchen Sie, ob die Ereignisse $A$ und $B$ stochastisch unabhängig sind.

[3 BE]

c)

Beschreiben Sie das Ereignis $\overline{A} \cap B$ im Sachzusammenhang.

[2 BE]

d)

Bestimmen Sie für den Fall, dass die ausgewählte Person jünger als 65 Jahre ist, die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sie das Internet nutzt.

[2 BE]

Für ein Land wird die Bevölkerungsgruppe der Erwachsenen betrachtet. In dieser Bevölkerungsgruppe beträgt der Anteil der Internetnutzer 88 %; der Anteil derjenigen, die mindestens 65 Jahre alt sind und das Internet nutzen, beträgt 17 %. Die betrachtete Bevölkerungsgruppe besteht aus 60,7 Millionen Personen, von denen 16,4 Millionen mindestens 65 Jahre alt sind.

Aus der betrachteten Bevölkerungsgruppe wird eine Person zufällig ausgewählt. Untersucht werden folgende Ereignisse:

$A$: „Die Person nutzt das Internet.“

$B$: „Die Person ist mindestens 65 Jahre alt.“

In der betrachteten Bevölkerungsgruppe nutzen etwa 72 % das Internet mit einem Smartphone.

e)

Aus der betrachteten Bevölkerungsgruppe werden 150 Personen zufällig ausgewählt. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Anzahl derjenigen ausgewählten Personen, die das Internet mit einem Smartphone nutzen, weniger als 10 % vom Erwartungswert dieser Anzahl abweicht.

[4 BE]

f)

Ermitteln Sie, wie viele Personen aus der betrachteten Bevölkerungsgruppe mindestens zufällig ausgewählt werden müssen, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als 98 % mehr als zwei dieser Personen das Internet mit einem Smartphone nutzen.

[4 BE]

Für ein Land wird die Bevölkerungsgruppe der Erwachsenen betrachtet. In dieser Bevölkerungsgruppe beträgt der Anteil der Internetnutzer 88 %; der Anteil derjenigen, die mindestens 65 Jahre alt sind und das Internet nutzen, beträgt 17 %. Die betrachtete Bevölkerungsgruppe besteht aus 60,7 Millionen Personen, von denen 16,4 Millionen mindestens 65 Jahre alt sind.

Aus der betrachteten Bevölkerungsgruppe wird eine Person zufällig ausgewählt. Untersucht werden folgende Ereignisse:

$A$: „Die Person nutzt das Internet.“

$B$: „Die Person ist mindestens 65 Jahre alt.“

2 In zwei Behältern befinden sich insgesamt 300 Kugeln, von denen 105 weiß und die übrigen schwarz sind. Im ersten Behälter befinden sich $k$ Kugeln, von denen $w$ weiß sind. Jedem Behälter wird eine Kugel zufällig entnommen.

a)

Interpretieren Sie den Term $\frac{195-(k-w)}{300-k}$ im Sachzusammenhang. [3 BE]

b)

Es gilt:

Mit einer Wahrscheinlichkeit von $12{,}5\,\%$ sind beide entnommenen Kugeln weiß.

Mit einer Wahrscheinlichkeit von $37{,}5\,\%$ ist die aus dem ersten Behälter entnommene Kugel schwarz und die aus dem zweiten Behälter entnommene Kugel weiß.

Ermitteln Sie die Anzahl der weißen Kugeln im ersten Behälter. [4 BE]