Aufgabe CAS 1 - Beurteilende Statistik · Abitur NRW Mathematik LK · Teil B · Stochastik (CAS) 2021

Ein Unternehmen produziert Stahlkugeln für Kugellager. Erfahrungsgemäß sind $4\,\%$ aller Kugeln fehlerhaft.

800 Kugeln werden zufällig ausgewählt. Die Anzahl der fehlerhaften Kugeln unter den ausgewählten kann durch eine binomialverteilte Zufallsgröße beschrieben werden.

Aufgrund zunehmender Reklamationen wird vermutet, dass der Anteil der fehlerhaften Kugeln auf über $4\,\%$ angestiegen ist. Um diese Vermutung zu prüfen, soll die Nullhypothese „Der Anteil der fehlerhaften Kugeln beträgt höchstens $4\,\%$.“ auf der Grundlage einer Stichprobe von 500 Kugeln getestet werden. Wenn das Ergebnis des Tests die Vermutung nicht entkräftet, soll die Produktion unterbrochen werden, um die Maschinen zu warten. Das Risiko, die Produktion irrtümlich zu unterbrechen, soll höchstens $3\,\%$ betragen.

e

Beschreiben Sie für diesen Test im Sachzusammenhang den Fehler zweiter Art. Geben Sie die Konsequenz an, die sich aus diesem Fehler für die Produktion ergeben würde. [3 BE]

f

Für den beschriebenen Test wird der Ablehnungsbereich betrachtet. Eine der beiden Grenzen dieses Ablehnungsbereichs ist größer als 0 und kleiner als 500; diese Grenze wird mit $k$ bezeichnet. Zur Bestimmung des Werts von $k$ soll die binomialverteilte Zufallsgröße $Y$ mit den Parametern $n = 500$ und $p = 0{,}04$ verwendet werden. Begründen Sie, dass keine der beiden Ungleichungen I und II den korrekten Wert von $k$ liefert. [4 BE]

$$\text{I } P(Y \le k) \le 0{,}03 \qquad\qquad \text{II } P(Y \le k) > 0{,}97$$

Ihre Antworten wurden abgegeben. Vergleichen Sie Ihre Begründungen mit der Musterlösung.