Abitur Thüringen Mathematik 2024 · LK · Teil B · Stochastik (CAS)

Ein bekannter Video-Streamingdienst bietet einen kostenpflichtigen Zugang zu Spielfilmen und Serien an. Personen, die davon gegen Zahlung einer monatlichen Gebühr Gebrauch machen, werden im Folgenden als Abonnenten bezeichnet. Sie haben sich entweder für das Spielfilmpaket oder für das Komplettpaket entschieden, das neben den Spielfilmen auch noch Serien enthält.

Unter den Abonnenten sind $70\,\%$ höchstens $40$ Jahre alt. Von diesen haben $80\,\%$ das Komplettpaket gewählt. Unter denjenigen Abonnenten, die älter als $40$ Jahre sind, haben sich $50\,\%$ für das Komplettpaket entschieden.

a

Stellen Sie den Sachverhalt in einem beschrifteten Baumdiagramm dar.

b

Eine unter allen Abonnenten zufällig ausgewählte Person hat sich für das Komplettpaket entschieden. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sie höchstens 40 Jahre alt ist.

Ein bekannter Video-Streamingdienst bietet einen kostenpflichtigen Zugang zu Spielfilmen und Serien an. Personen, die davon gegen Zahlung einer monatlichen Gebühr Gebrauch machen, werden im Folgenden als Abonnenten bezeichnet. Sie haben sich entweder für das Spielfilmpaket oder für das Komplettpaket entschieden, das neben den Spielfilmen auch noch Serien enthält.

Unter den Abonnenten sind $70\,\%$ höchstens $40$ Jahre alt. Von diesen haben $80\,\%$ das Komplettpaket gewählt. Unter denjenigen Abonnenten, die älter als $40$ Jahre sind, haben sich $50\,\%$ für das Komplettpaket entschieden.

c

Bestimmen Sie die Anzahl der Abonnenten, die man mindestens zufällig auswählen müsste, damit unter ihnen mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens $99\,\%$ mehr als 20 Personen älter als 40 Jahre sind.

Ein bekannter Video-Streamingdienst bietet einen kostenpflichtigen Zugang zu Spielfilmen und Serien an. Personen, die davon gegen Zahlung einer monatlichen Gebühr Gebrauch machen, werden im Folgenden als Abonnenten bezeichnet. Sie haben sich entweder für das Spielfilmpaket oder für das Komplettpaket entschieden, das neben den Spielfilmen auch noch Serien enthält.

Unter den Abonnenten sind $70\,\%$ höchstens $40$ Jahre alt. Von diesen haben $80\,\%$ das Komplettpaket gewählt. Unter denjenigen Abonnenten, die älter als $40$ Jahre sind, haben sich $50\,\%$ für das Komplettpaket entschieden.

Der Anteil der zufriedenen Abonnenten von derzeit $60\,\%$ soll gesteigert werden. Dazu wird ein Algorithmus entwickelt, der jedem Abonnenten täglich individuell einen Spielfilm vorschlägt. Als Basis für die Entscheidung über den dauerhaften Einsatz des Algorithmus plant das Management einen Probebetrieb. Im Anschluss soll die Nullhypothese „Der Anteil der zufriedenen Abonnenten beträgt höchstens $60\,\%$.“ mithilfe einer Stichprobe von $200$ zufällig ausgewählten Abonnenten auf einem Signifikanzniveau von $5\,\%$ getestet werden.

a)

Geben Sie an, welche Überlegung des Managements zur Wahl dieser Nullhypothese geführt haben könnte. [2 BE]

Für den beschriebenen Test ergibt sich $\{132; 133; \dots; 200\}$ als der Ablehnungsbereich der Nullhypothese.

b)

Zur Bestimmung der unteren Grenze dieses Ablehnungsbereichs wurden zunächst folgende Lösungsschritte ausgeführt:

$Y$: Anzahl der zufriedenen Abonnenten in der Stichprobe

$P_{0{,}6}^{200}(Y \ge 132) \approx 0{,}047$

Begründen Sie, dass die beiden Lösungsschritte zur Bestimmung der unteren Grenze nicht ausreichend sind, und ergänzen Sie diese geeignet. [4 BE]

c)

Weisen Sie nach, dass die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler zweiter Art bei diesem Ablehnungsbereich der Nullhypothese mehr als $90\,\%$ betragen könnte. [4 BE]

Ein bekannter Video-Streamingdienst bietet einen kostenpflichtigen Zugang zu Spielfilmen und Serien an. Personen, die davon gegen Zahlung einer monatlichen Gebühr Gebrauch machen, werden im Folgenden als Abonnenten bezeichnet. Sie haben sich entweder für das Spielfilmpaket oder für das Komplettpaket entschieden, das neben den Spielfilmen auch noch Serien enthält.

Unter den Abonnenten sind $70\,\%$ höchstens $40$ Jahre alt. Von diesen haben $80\,\%$ das Komplettpaket gewählt. Unter denjenigen Abonnenten, die älter als $40$ Jahre sind, haben sich $50\,\%$ für das Komplettpaket entschieden.

3 Zur Anmeldung auf der Webseite des Streamingdiensts ist ein persönliches Kennwort erforderlich. Für das Kennwort können 80 verschiedene Zeichen verwendet werden: je 26 Groß- und Kleinbuchstaben, 10 Ziffern sowie 18 Sonderzeichen.

a)

Einige Abonnenten verwenden ein Kennwort, das genau acht Zeichen lang ist und nur aus Kleinbuchstaben besteht. Dabei können Zeichen mehrfach vorkommen.

Zeigen Sie, dass für diese Abonnenten weniger als ein Tausendstel aller möglichen Kennwörter infrage kommen, die aus genau acht Zeichen bestehen.

b)

Niclas beschließt ein Kennwort zu wählen, das die beiden folgenden Bedingungen erfüllt:

Es besteht aus genau acht Zeichen, die untereinander verschieden sind.

Die Buchstaben seines Namens sind in der korrekten Reihenfolge und unter Berücksichtigung der Groß- und Kleinschreibung enthalten.

Damit sind beispielsweise Nic4+las oder nNicl*as mögliche Kennwörter. Bestimmen Sie die Anzahl aller derartigen Kennwörter.

Ein Institut für Ernährungsforschung untersucht die Essgewohnheiten von in Deutschland lebenden Personen einer bestimmten Altersgruppe.

1 Im Folgenden wird davon ausgegangen, dass sich 30 % der Personen der betrachteten Gruppe häufig von Fertiggerichten ernähren.

a)

Es werden 500 Personen der betrachteten Gruppe zufällig ausgewählt. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich mindestens ein Viertel dieser Personen häufig von Fertiggerichten ernährt.

b)

Beschreiben Sie im Sachzusammenhang ein Zufallsexperiment, bei dem die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses mit dem Term

$$1 - \sum_{k=55}^{200} \binom{200}{k} \cdot 0{,}3^k \cdot 0{,}7^{200-k}$$

berechnet werden kann. Geben Sie dieses Ereignis an.

Ein Institut für Ernährungsforschung untersucht die Essgewohnheiten von in Deutschland lebenden Personen einer bestimmten Altersgruppe.

1 Im Folgenden wird davon ausgegangen, dass sich 30 % der Personen der betrachteten Gruppe häufig von Fertiggerichten ernähren.

Neben der Ernährung durch Fertiggerichte wird auch der Verzehr von Zucker untersucht. Der Anteil der Personen der betrachteten Gruppe, die sich häufig von Fertiggerichten ernähren und zu viel Zucker verzehren, beträgt $24\,\%$. Der Anteil der Personen, die zu viel Zucker verzehren, ist unter denjenigen, die sich häufig von Fertiggerichten ernähren, doppelt so groß wie unter denjenigen, die sich nicht häufig von Fertiggerichten ernähren. Aus der betrachteten Gruppe wird eine Person zufällig ausgewählt.

Untersucht werden folgende Ereignisse:

$F$: „Die Person ernährt sich häufig von Fertiggerichten.“

$Z$: „Die Person verzehrt zu viel Zucker.“

c)

Weisen Sie nach, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die ausgewählte Person zu viel Zucker verzehrt und sich nicht häufig von Fertiggerichten ernährt, $28\,\%$ beträgt.

[4 BE]

d)

Stellen Sie den Sachverhalt in einer vollständig ausgefüllten Vierfeldertafel dar (Angaben in Prozent oder als Dezimalzahl).

[3 BE]

$F$

$\bar{F}$

Summe

$Z$

$\bar{Z}$

Summe

e)

Nun werden fünf Personen aus der betrachteten Gruppe zufällig ausgewählt. Geben Sie einen Term an, mit dem die Wahrscheinlichkeit dafür berechnet werden kann, dass keine dieser Personen zu viel Zucker verzehrt und sich höchstens zwei von ihnen häufig von Fertiggerichten ernähren.

[3 BE]

Ein Institut für Ernährungsforschung untersucht die Essgewohnheiten von in Deutschland lebenden Personen einer bestimmten Altersgruppe.

1 Im Folgenden wird davon ausgegangen, dass sich 30 % der Personen der betrachteten Gruppe häufig von Fertiggerichten ernähren.

Das Institut untersucht den Anteil $p$ der Personen der betrachteten Gruppe, die einen bestimmten zuckerfreien Müsliriegel gegenüber einem vergleichbaren zuckerhaltigen Müsliriegel bevorzugen.

a)

Aufgrund früherer Untersuchungen wird von einem Anteil $p$ von $35\,\%$ ausgegangen. Bei einer Umfrage unter $200$ Personen der betrachteten Gruppe gaben $86$ Personen an, den zuckerfreien Müsliriegel zu bevorzugen. Abgebildet sind die Graphen der für $p \in [0;1]$ definierten Funktionen

$$f: p \mapsto p - 1{,}96 \cdot \sqrt{\frac{p \cdot (1-p)}{200}} \quad \text{und} \quad g: p \mapsto p + 1{,}96 \cdot \sqrt{\frac{p \cdot (1-p)}{200}}$$

Interpretieren Sie das Ergebnis der Umfrage im Hinblick auf die Bedeutung des Intervalls $a \le y \le b$ (vgl. Abbildung).

b)

Nach der Durchführung einer Werbemaßnahme für den zuckerfreien Müsliriegel möchte das Institut Anhaltspunkte darüber gewinnen, wie groß der Anteil $p$ inzwischen ist. Unter den Personen der betrachteten Gruppe wurde daraufhin eine Umfrage erhoben. Die Auswertung der Umfrage ergab, dass etwa $61\,\%$ der befragten Personen den zuckerfreien Riegel bevorzugen. Das zugehörige $95\,\%$-Konfidenzintervall, dessen Ränder mit der Gleichung $|h - p| = 1{,}96 \cdot \sqrt{\frac{p \cdot (1-p)}{n}}$ berechnet werden, besitzt eine Länge, die kleiner als $0{,}1$ ist. Ermitteln Sie die Anzahl der Personen, die im Rahmen der Umfrage mindestens befragt wurden.