Abitur Thüringen Mathematik 2021 · LK · Teil B · Analysis (CAS)

1 Gegeben sind die in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $f_a: x \mapsto -\frac{a}{250}x^4 + \frac{1}{25}x^3$ mit $a \in \mathbb{R}^+$ sowie $g_a: x \mapsto f_a(x) - \frac{3}{5}x$. Die Abbildung 1 zeigt den Graphen von $g_1$.

a

Berechnen Sie für den Graphen von $f_1$ die Koordinaten der Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen sowie die Koordinaten des Extrempunkts. Zeichnen Sie den Graphen von $f_1$ in die Abbildung 1 ein.

c

Für jeden Wert von $a$ gilt:

I Die Funktionsterme von $f_a$ und $g_a$ unterscheiden sich nur um den Summanden $-\frac{3}{5}x$.

II Der Graph von $f_a$ hat genau zwei Wendepunkte, deren x-Koordinaten $0$ und $\frac{5}{a}$ sind.

Geben Sie an, was sich aus I und II hinsichtlich der Anzahl und der Lage der Wendepunkte des Graphen von $g_a$ im Vergleich zu den Wendepunkten des Graphen von $f_a$ folgern lässt. Begründen Sie Ihre Angabe ausgehend von I und II.

Die Tangente $t_f$ an den Graphen von $f_a$ im Punkt $\left(\frac{5}{a}\mid f_a\left(\frac{5}{a}\right)\right)$ hat die Steigung $\frac{1}{a^2}$, die Tangente $t_g$ an den Graphen von $g_a$ im Punkt $\left(\frac{5}{a}\mid g_a\left(\frac{5}{a}\right)\right)$ die Steigung $\frac{5-3a^2}{5a^2}$. Der Schnittpunkt dieser beiden Tangenten wird mit $S$ bezeichnet.

d

Weisen Sie nach, dass $S$ für jeden Wert von $a$ auf der y-Achse liegt.

e

Die Gerade mit der Gleichung $x = \frac{5}{a}$ schneidet $t_f$ im Punkt $F$ und $t_g$ im Punkt $G$. Untersuchen Sie, für welche Werte von $a \in \mathbb{R}^+$ das Dreieck $SGF$ rechtwinklig ist.

1 Gegeben sind die in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $f_a: x \mapsto -\frac{a}{250}x^4 + \frac{1}{25}x^3$ mit $a \in \mathbb{R}^+$ sowie $g_a: x \mapsto f_a(x) - \frac{3}{5}x$. Die Abbildung 1 zeigt den Graphen von $g_1$.

b

Geben Sie an, für welche Werte von $x$ der Graph von $f_1$ oberhalb des Graphen von $g_1$ verläuft und für welche unterhalb. Begründen Sie Ihre Angabe.

Die Abbildung 2 zeigt schematisch die Profillinie des Längsschnitts einer Skipiste in einer Skihalle. Die Piste ist in Querrichtung nicht geneigt und durchgehend 30 m breit.

Die Profillinie wird für $0 \le x \le 41{,}5$ modellhaft durch den Graphen der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $p: x \mapsto -0{,}000004x^4 + 0{,}015x^2 - 0{,}1x + 0{,}1875$ dargestellt. Im verwendeten Koordinatensystem beschreibt die x-Achse die Horizontale; eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht 10 m in der Realität.

Über der Piste verläuft in deren Längsrichtung ein Seil. Die beiden Enden des Seils werden im Modell durch $A(5 \mid 2{,}31)$ und $B(37 \mid 10{,}68)$ dargestellt; der Verlauf des Seils kann mithilfe einer in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $h: x \mapsto b \cdot c^x$ mit $b,c \in \mathbb{R}^+$ beschrieben werden.

a

Berechnen Sie die Größe des größten Neigungswinkels der Piste gegenüber der Horizontalen.

c

Untersuchen Sie, in welchen Bereichen der vertikale Abstand des Seils zur Piste mindestens 3 m beträgt. Ermitteln Sie die Höhendifferenz, um die die beiden Enden des Seils gemeinsam mindestens angehoben werden müssen, damit das Seil an jeder Stelle von der Piste einen vertikalen Abstand von mindestens 3 m hat.

Die Abbildung 2 zeigt schematisch die Profillinie des Längsschnitts einer Skipiste in einer Skihalle. Die Piste ist in Querrichtung nicht geneigt und durchgehend 30 m breit.

Die Profillinie wird für $0 \le x \le 41{,}5$ modellhaft durch den Graphen der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $p: x \mapsto -0{,}000004x^4 + 0{,}015x^2 - 0{,}1x + 0{,}1875$ dargestellt. Im verwendeten Koordinatensystem beschreibt die x-Achse die Horizontale; eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht 10 m in der Realität.

Über der Piste verläuft in deren Längsrichtung ein Seil. Die beiden Enden des Seils werden im Modell durch $A(5 \mid 2{,}31)$ und $B(37 \mid 10{,}68)$ dargestellt; der Verlauf des Seils kann mithilfe einer in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $h: x \mapsto b \cdot c^x$ mit $b,c \in \mathbb{R}^+$ beschrieben werden.

Über der Piste verläuft in deren Längsrichtung ein Seil. Die beiden Enden des Seils werden im Modell durch $A(5 \mid 2{,}31)$ und $B(37 \mid 10{,}68)$ dargestellt; der Verlauf des Seils kann mithilfe einer in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $h: x \mapsto b \cdot c^x$ mit $b, c \in \mathbb{R}^+$ beschrieben werden.

b

Bestimmen Sie die Werte von $b$ und $c$.

Die Abbildung 2 zeigt schematisch die Profillinie des Längsschnitts einer Skipiste in einer Skihalle. Die Piste ist in Querrichtung nicht geneigt und durchgehend 30 m breit.

Die Profillinie wird für $0 \le x \le 41{,}5$ modellhaft durch den Graphen der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $p: x \mapsto -0{,}000004x^4 + 0{,}015x^2 - 0{,}1x + 0{,}1875$ dargestellt. Im verwendeten Koordinatensystem beschreibt die x-Achse die Horizontale; eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht 10 m in der Realität.

Über der Piste verläuft in deren Längsrichtung ein Seil. Die beiden Enden des Seils werden im Modell durch $A(5 \mid 2{,}31)$ und $B(37 \mid 10{,}68)$ dargestellt; der Verlauf des Seils kann mithilfe einer in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $h: x \mapsto b \cdot c^x$ mit $b,c \in \mathbb{R}^+$ beschrieben werden.

d

Die Abbildung 3 zeigt grau markiert die Schneeauflage im unteren Bereich der Piste; dazu wurde die Abbildung 2 in Richtung der y-Achse stärker vergrößert als in Richtung der x-Achse. Der Untergrund, auf dem der Schnee aufgebracht ist, wird für $0 \le x \le 5$ durch die x-Achse dargestellt. Für den übrigen Teil der Piste soll davon ausgegangen werden, dass die in vertikaler Richtung gemessene Schneehöhe $60\text{ cm}$ beträgt.

Bestimmen Sie das Volumen der Schneeauflage der gesamten Piste.