Abitur Thüringen Mathematik 2026 · LK · Teil B · Stochastik (CAS)

Eine Supermarktkette bietet für Personen, die bei ihr einkaufen, ein Treuepunktesystem an. Diese Personen werden im Folgenden als Kundenkreis bezeichnet. Beim Bezahlen an der Kasse erhält man auf Wunsch pro 5 € Warenwert einen Treuepunkt zum Aufkleben. 75 % der Personen aus dem Kundenkreis der Supermarktkette sammeln Treuepunkte.

1 Aus dem Kundenkreis werden 10 Personen zufällig ausgewählt. Die Zufallsgröße $A$ beschreibt die Anzahl der ausgewählten Personen, die Treuepunkte sammeln. Es soll davon ausgegangen werden, dass $A$ binomialverteilt ist.

a

Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass weniger als 8 der ausgewählten Personen Treuepunkte sammeln. [2 BE]

b

Abbildung 1 zeigt die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer binomialverteilten Zufallsgröße $B$ mit den Parametern $n = 10$ und $p = 0{,}25$. Erläutern Sie, wie man mithilfe von Abbildung 1 die Wahrscheinlichkeit dafür ermitteln kann, dass genau 6 der 10 ausgewählten Personen Treuepunkte sammeln. [2 BE]

Eine Supermarktkette bietet für Personen, die bei ihr einkaufen, ein Treuepunktesystem an. Diese Personen werden im Folgenden als Kundenkreis bezeichnet. Beim Bezahlen an der Kasse erhält man auf Wunsch pro 5 € Warenwert einen Treuepunkt zum Aufkleben. 75 % der Personen aus dem Kundenkreis der Supermarktkette sammeln Treuepunkte.

Von den Personen aus dem Kundenkreis, die Treuepunkte sammeln, sind $80\,\%$ weiblich. Der Anteil der weiblichen Personen unter den Personen aus dem Kundenkreis, die keine Treuepunkte sammeln, wird mit $a$ bezeichnet. Das abgebildete Baumdiagramm stellt den Sachverhalt dar.

a)

Angenommen, der Kundenkreis besteht aus $500\,000$ Personen. Entscheiden Sie unter dieser Annahme, ob die Anzahl der Personen, die weiblich sind und Treuepunkte sammeln, kleiner als $400\,000$ ist, und begründen Sie Ihre Entscheidung.

b)

Der Anteil der nicht weiblichen Personen aus dem Kundenkreis beträgt $30\,\%$. Berechnen Sie den Anteil $a$.

c)

Ein Jahr später stellt sich der Sachverhalt wie folgt dar:

Weiterhin sammeln $75\,\%$ der Personen aus dem Kundenkreis Treuepunkte.

Weiterhin sind von den Personen aus dem Kundenkreis, die Treuepunkte sammeln, $80\,\%$ weiblich.

Der Wert von $a$ ist im Vergleich zum Vorjahr gestiegen.

Beurteilen Sie folgende Aussage:

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine aus dem Kundenkreis zufällig ausgewählte nicht weibliche Person Treuepunkte sammelt, ist größer als vor einem Jahr.

Eine Supermarktkette bietet für Personen, die bei ihr einkaufen, ein Treuepunktesystem an. Diese Personen werden im Folgenden als Kundenkreis bezeichnet. Beim Bezahlen an der Kasse erhält man auf Wunsch pro 5 € Warenwert einen Treuepunkt zum Aufkleben. 75 % der Personen aus dem Kundenkreis der Supermarktkette sammeln Treuepunkte.

Aufgabe 3

Die normalverteilte ZufallsgröÑe $X$ hat den Erwartungswert $19$ und die Standardabweichung $3$. Für eine weitere ZufallsgröÑe $C$, die natürliche Zahlen als Werte annimmt, gilt:

$P(C = 0) = P(X \le 0{,}5)$ sowie

$P(C = k) = P(k - 0{,}5 \le X \le k + 0{,}5)$ für $k \in \mathbb{N}$ und $k \ge 1$.

a)

Berechnen Sie $P(C = 20)$. [2 BE]

Betrachtet wird ein Einkauf mit einem Warenwert von $95{,}00\text{ €}$ bis $99{,}99\text{ €}$. Bei diesem Einkauf wird davon ausgegangen, dass die an der Kasse auf Wunsch ausgegebenen Treuepunkte in zufälliger Anzahl von einer Rolle abgerissen werden. Dabei beschreibt die ZufallsgröÑe $C$ die Anzahl der ausgegebenen Treuepunkte.

b)

GemäÑ dem Modell ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei dem betrachteten Einkauf $1000$ Treuepunkte ausgegeben werden, gröÑer als $0$. Begründen Sie, dass diese Tatsache kein Argument gegen die Verwendung des beschriebenen Modells ist. [2 BE]

c)

Das Management der Supermarktkette nimmt an, dass mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens $50\,\%$ bei einem beliebigen Einkauf die Anzahl der tatsächlich ausgegebenen Treuepunkte von der dem Warenwert entsprechenden Anzahl an Treuepunkten um höchstens zwei abweicht. Beurteilen Sie, ob die Annahme des Managements bei dem betrachteten Einkauf zutrifft. [3 BE]

Bei einer statistischen Erhebung werden die in einem großen europäischen Land zugelassenen Kraftfahrzeuge betrachtet. Von diesen Kraftfahrzeugen sind $80\,\%$ Personenkraftwagen (Pkw).

Im Folgenden wird zusätzlich das Alter der betrachteten Kraftfahrzeuge untersucht. $70{,}8\,\%$ dieser Kraftfahrzeuge sind mindestens fünf Jahre alt.

$A$: „Ein Kraftfahrzeug ist mindestens fünf Jahre alt.“

$B$: „Ein Kraftfahrzeug ist ein Pkw.“

In der Folge werden die zugelassenen Pkw betrachtet. Diese werden je nach Alter einem von sieben Zeitintervallen zugeordnet. Abbildung 1 zeigt die entsprechenden Anteile.

a)

Es werden 200 Kraftfahrzeuge zufällig ausgewählt. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich darunter höchstens 170 Pkw befinden.

d)

Alle zugelassenen Pkw werden nach ihrem Alter in einer Liste sortiert. Angenommen, es gibt einen Pkw, für den die Anzahl jüngerer Pkw gleich der Anzahl älterer Pkw ist. Geben Sie dasjenige der sieben Zeitintervalle an, in dem das Alter dieses Pkw liegt, und begründen Sie Ihre Angabe.

e)

Beschreiben Sie den mathematischen Zusammenhang zwischen Abbildung 1 und dem Term $5\cdot 0{,}26 + 10\cdot 0{,}21 + 15\cdot 0{,}13 + 20\cdot 0{,}05 + 25\cdot 0{,}02 + 30\cdot 0{,}02$ und geben Sie die Bedeutung seines Wertes im Sachzusammenhang an.

Bei einer statistischen Erhebung werden die in einem großen europäischen Land zugelassenen Kraftfahrzeuge betrachtet. Von diesen Kraftfahrzeugen sind $80\,\%$ Personenkraftwagen (Pkw).

Im Folgenden wird zusätzlich das Alter der betrachteten Kraftfahrzeuge untersucht. $70{,}8\,\%$ dieser Kraftfahrzeuge sind mindestens fünf Jahre alt.

$A$: „Ein Kraftfahrzeug ist mindestens fünf Jahre alt.“

$B$: „Ein Kraftfahrzeug ist ein Pkw.“

In der Folge werden die zugelassenen Pkw betrachtet. Diese werden je nach Alter einem von sieben Zeitintervallen zugeordnet. Abbildung 1 zeigt die entsprechenden Anteile.

b)

Vervollständigen Sie die abgebildete Vierfeldertafel.

· $A$ · $\overline{A}$

$B$

$\overline{B}$ · · 0,044

· · · 1

c)

Untersuchen Sie, ob der Anteil der Kraftfahrzeuge, die mindestens fünf Jahre alt sind, unter den Pkw größer ist als unter den übrigen Kraftfahrzeugen.

Bei einer statistischen Erhebung werden die in einem großen europäischen Land zugelassenen Kraftfahrzeuge betrachtet. Von diesen Kraftfahrzeugen sind $80\,\%$ Personenkraftwagen (Pkw).

Im Folgenden wird zusätzlich das Alter der betrachteten Kraftfahrzeuge untersucht. $70{,}8\,\%$ dieser Kraftfahrzeuge sind mindestens fünf Jahre alt.

$A$: „Ein Kraftfahrzeug ist mindestens fünf Jahre alt.“

$B$: „Ein Kraftfahrzeug ist ein Pkw.“

In der Folge werden die zugelassenen Pkw betrachtet. Diese werden je nach Alter einem von sieben Zeitintervallen zugeordnet. Abbildung 1 zeigt die entsprechenden Anteile.

2 In einer Region werden die Personen betrachtet, die regelmäßig in einem Pkw zur Arbeit fahren. Frühere Untersuchungen haben ergeben, dass etwa 90 % dieser Personen dabei allein im Pkw sind. Um diesen Anteil zu senken, wurden Anreize geschaffen, verstärkt Fahrgemeinschaften zu bilden. Nun soll untersucht werden, ob der beschriebene Anteil deutlich gesunken ist. Dazu wird die Durchführung eines Signifikanztests geplant mit einem Signifikanzniveau von 5 % und der Nullhypothese „Der Anteil der Personen, die allein im Pkw zur Arbeit fahren, liegt bei mindestens 75 %.“

a)

Es ist geplant, den Test auf der Grundlage einer Stichprobe von 400 Personen durchzuführen. Bestimmen Sie die zugehörige Entscheidungsregel.

[5 BE]

b)

Angenommen, der Test würde mit unveränderter Nullhypothese und unverändertem Signifikanzniveau mit $n$ zufällig ausgewählten Personen geplant. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine zufällig ausgewählte Person allein im Pkw zur Arbeit fährt, wird mit $p$ bezeichnet. Abbildung 2 stellt für einen bestimmten Wert von $n$ in Abhängigkeit von $p$ die Wahrscheinlichkeit dafür dar, dass das Ergebnis des Tests im Ablehnungsbereich liegt.

Ermitteln Sie für ein geeignet gewähltes Beispiel mithilfe von Abbildung 2 die Wahrscheinlichkeit für den zugehörigen Fehler zweiter Art.

[3 BE]

Bei einer statistischen Erhebung werden die in einem großen europäischen Land zugelassenen Kraftfahrzeuge betrachtet. Von diesen Kraftfahrzeugen sind $80\,\%$ Personenkraftwagen (Pkw).

Im Folgenden wird zusätzlich das Alter der betrachteten Kraftfahrzeuge untersucht. $70{,}8\,\%$ dieser Kraftfahrzeuge sind mindestens fünf Jahre alt.

In der Folge werden die zugelassenen Pkw betrachtet. Diese werden je nach Alter einem von sieben Zeitintervallen zugeordnet. Abbildung 1 zeigt die entsprechenden Anteile.

a)

Es werden 200 Kraftfahrzeuge zufällig ausgewählt. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich darunter höchstens 170 Pkw befinden.

d)

Alle zugelassenen Pkw werden nach ihrem Alter in einer Liste sortiert. Angenommen, es gibt einen Pkw, für den die Anzahl jüngerer Pkw gleich der Anzahl älterer Pkw ist. Geben Sie dasjenige der sieben Zeitintervalle an, in dem das Alter dieses Pkw liegt, und begründen Sie Ihre Angabe.

e)

Beschreiben Sie den mathematischen Zusammenhang zwischen Abbildung 1 und dem Term $5\cdot 0{,}26 + 10\cdot 0{,}21 + 15\cdot 0{,}13 + 20\cdot 0{,}05 + 25\cdot 0{,}02 + 30\cdot 0{,}02$ und geben Sie die Bedeutung seines Wertes im Sachzusammenhang an.

Bei einer statistischen Erhebung werden die in einem großen europäischen Land zugelassenen Kraftfahrzeuge betrachtet. Von diesen Kraftfahrzeugen sind $80\,\%$ Personenkraftwagen (Pkw).

Im Folgenden wird zusätzlich das Alter der betrachteten Kraftfahrzeuge untersucht. $70{,}8\,\%$ dieser Kraftfahrzeuge sind mindestens fünf Jahre alt.

In der Folge werden die zugelassenen Pkw betrachtet. Diese werden je nach Alter einem von sieben Zeitintervallen zugeordnet. Abbildung 1 zeigt die entsprechenden Anteile.

b)

Vervollständigen Sie die abgebildete Vierfeldertafel.

$A$

$\overline{A}$

Summe

$B$

$\overline{B}$

0,044

Summe

1

c)

Untersuchen Sie, ob der Anteil der Kraftfahrzeuge, die mindestens fünf Jahre alt sind, unter den Pkw größer ist als unter den übrigen Kraftfahrzeugen.

Bei einer statistischen Erhebung werden die in einem großen europäischen Land zugelassenen Kraftfahrzeuge betrachtet. Von diesen Kraftfahrzeugen sind $80\,\%$ Personenkraftwagen (Pkw).

Im Folgenden wird zusätzlich das Alter der betrachteten Kraftfahrzeuge untersucht. $70{,}8\,\%$ dieser Kraftfahrzeuge sind mindestens fünf Jahre alt.

In der Folge werden die zugelassenen Pkw betrachtet. Diese werden je nach Alter einem von sieben Zeitintervallen zugeordnet. Abbildung 1 zeigt die entsprechenden Anteile.

In einer Region werden die Personen betrachtet, die regelmäßig in einem Pkw zur Arbeit fahren. Um den Anteil $p$ der Personen zu senken, die dabei allein im Pkw sind, wurden Anreize geschaffen, verstärkt Fahrgemeinschaften zu bilden. Erfahrungsgemäß betrug der beschriebene Anteil $p$ vor der Schaffung der Anreize über $90\,\%$.

Nun soll untersucht werden, ob dieser Anteil deutlich gesunken ist. Dazu werden $20$ Stichproben jeweils vom Umfang $500$ erhoben und es wird jeweils die Anzahl der Personen ermittelt, die allein im Pkw zur Arbeit fahren. Für jede Stichprobe wird mithilfe der Gleichung $|h - p| = 1{,}96 \cdot \sqrt{\frac{p \cdot (1 - p)}{n}}$ jeweils ein Konfidenzintervall zur Sicherheitswahrscheinlichkeit $95\,\%$ für den unbekannten Anteil $p$ ermittelt. Diese Konfidenzintervalle sind in Abbildung 2 dargestellt und mit den Nummern 1 bis 20 versehen.

a)

In einer der Stichproben werden $356$ Personen gezählt, die allein im Pkw zur Arbeit fahren. Ermitteln Sie rechnerisch auf Tausendstel genau die Grenzen des zugehörigen Konfidenzintervalls und geben Sie seine Nummer an. [3 BE]

b)

Geben Sie einen möglichen Wert für den beschriebenen unbekannten Anteil $p$ an, der mit genau $19$ der $20$ Stichprobenergebnisse verträglich ist, und begründen Sie Ihre Angabe unter Verwendung von Abbildung 2. [2 BE]

c)

Nun werden für $20$ weitere Stichproben, die jeweils den Umfang $500$ haben, die zu deren Ergebnissen gehörenden Konfidenzintervalle zur Sicherheitswahrscheinlichkeit $95\,\%$ ermittelt. Es wird angenommen, dass der Wert von $p$ für diese $20$ Stichproben konstant ist. Betrachtet wird die folgende Aussage:

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Wert von $p$ von genau $19$ dieser $20$ ermittelten Konfidenzintervalle überdeckt wird, beträgt weniger als $42\,\%$.

Die Zufallsgröße $Y$ beschreibt die Anzahl derjenigen Konfidenzintervalle unter den ermittelten Konfidenzintervallen, die den Wert von $p$ überdecken. Geben Sie eine geeignete Wahrscheinlichkeitsverteilung von $Y$ an und erläutern Sie Ihre Wahl. Zeigen Sie, dass die Aussage wahr ist. [3 BE]