Abitur Sachsen-Anhalt Mathematik 2024 · GK · Teil B · Analysis (WTR)

1 Aufgabe

Die Abbildung 1 zeigt den Graphen der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $f$ mit $$f(x)=2\cdot (x^2-1)\cdot e^x.$$

Für jeden Wert $k \in \mathbb{R}^+$ wird die Funktion $h_k$ mit $h_k(x)=k\cdot (x^2-1)\cdot e^x$ und $x \in \mathbb{R}$ betrachtet. Damit entspricht die Funktion $h_2$ der Funktion $f$, deren Graph in Abbildung 1 dargestellt ist.

a)

Zeigen Sie, dass für die erste Ableitungsfunktion $f'$ von $f$ gilt: $f'(x) = 2\cdot (x^2 + 2x - 1)\cdot e^x$

b)

Weisen Sie nach, dass $f$ genau zwei Nullstellen hat und dass diese $-1$ und $1$ sind. Berechnen Sie die x-Koordinate des Tiefpunkts des Graphen von $f$.

1 Aufgabe

Die Abbildung 1 zeigt den Graphen der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $f$ mit $$f(x)=2\cdot (x^2-1)\cdot e^x.$$

Für jeden Wert $k \in \mathbb{R}^+$ wird die Funktion $h_k$ mit $h_k(x)=k\cdot (x^2-1)\cdot e^x$ und $x \in \mathbb{R}$ betrachtet. Damit entspricht die Funktion $h_2$ der Funktion $f$, deren Graph in Abbildung 1 dargestellt ist.

d)

Begründen Sie ohne Rechnung, dass der Graph von $h_1$ einen Tiefpunkt besitzt, der im gleichen Quadranten wie der Tiefpunkt des Graphen von $h_2$ liegt. Skizzieren Sie den Graphen von $h_1$ in der Abbildung 1.

1 Aufgabe

Die Abbildung 1 zeigt den Graphen der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $f$ mit $$f(x)=2\cdot (x^2-1)\cdot e^x.$$

Für jeden Wert $k \in \mathbb{R}^+$ wird die Funktion $h_k$ mit $h_k(x)=k\cdot (x^2-1)\cdot e^x$ und $x \in \mathbb{R}$ betrachtet. Damit entspricht die Funktion $h_2$ der Funktion $f$, deren Graph in Abbildung 1 dargestellt ist.

c)

Begründen Sie mithilfe der Abbildung 1, dass es eine Zahl $b > 1$ gibt, für die $\int_{-1}^1 f(x)\,\mathrm{d}x + \int_1^b f(x)\,\mathrm{d}x = 0$ gilt.

e)

Für jeden Wert von $k$ schließen der Graph von $h_k$ und die x-Achse ein Flächenstück ein. Bestimmen Sie denjenigen Wert von $k$, für den das Flächenstück den Inhalt $1$ hat.

f)

Die Funktion $h_2$ besitzt zwei Stammfunktionen, deren Graphen jeweils in einem Punkt die x-Achse als Tangente haben. Ermitteln Sie jeweils einen Term dieser Stammfunktionen.

Zur Bestimmung der Wasserqualität eines Gewässers wurde über einen Zeitraum von 40 Jahren der Zusammenhang zwischen der Phosphorkonzentration und der Algenkonzentration in dem Gewässer untersucht.

Die zeitliche Entwicklung der Phosphorkonzentration kann modellhaft durch die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $p$ und die zeitliche Entwicklung der zugehörigen Algenkonzentration durch die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $a$ beschrieben werden. Dabei ist $t$ die seit Beobachtungsbeginn vergangene Zeit in Jahren, $p(t)$ die Phosphorkonzentration in $\frac{\text{mg}}{\text{m}^3}$ und $a(t)$ die Algenkonzentration in $\frac{\text{mg}}{\text{m}^3}$.

Für $0 \le t \le 40$ zeigt die Abbildung 2 den Graphen von $p$, die Abbildung 3 den Graphen der ersten Ableitungsfunktion von $a$.

a

Geben Sie den Zeitpunkt an, zu dem die Phosphorkonzentration $30\ \frac{\text{mg}}{\text{m}^3}$ beträgt.

Zur Bestimmung der Wasserqualität eines Gewässers wurde über einen Zeitraum von 40 Jahren der Zusammenhang zwischen der Phosphorkonzentration und der Algenkonzentration in dem Gewässer untersucht.

Die zeitliche Entwicklung der Phosphorkonzentration kann modellhaft durch die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $p$ und die zeitliche Entwicklung der zugehörigen Algenkonzentration durch die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $a$ beschrieben werden. Dabei ist $t$ die seit Beobachtungsbeginn vergangene Zeit in Jahren, $p(t)$ die Phosphorkonzentration in $\frac{\text{mg}}{\text{m}^3}$ und $a(t)$ die Algenkonzentration in $\frac{\text{mg}}{\text{m}^3}$.

Für $0 \le t \le 40$ zeigt die Abbildung 2 den Graphen von $p$, die Abbildung 3 den Graphen der ersten Ableitungsfunktion von $a$.

b

Der Graph von $p$ besitzt für $t \ge 10$ einen Wendepunkt. Beschreiben Sie die Bedeutung dieses Wendepunkts für die Entwicklung der Phosphorkonzentration im Gewässer.

Zur Bestimmung der Wasserqualität eines Gewässers wurde über einen Zeitraum von 40 Jahren der Zusammenhang zwischen der Phosphorkonzentration und der Algenkonzentration in dem Gewässer untersucht.

Die zeitliche Entwicklung der Phosphorkonzentration kann modellhaft durch die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $p$ und die zeitliche Entwicklung der zugehörigen Algenkonzentration durch die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $a$ beschrieben werden. Dabei ist $t$ die seit Beobachtungsbeginn vergangene Zeit in Jahren, $p(t)$ die Phosphorkonzentration in $\frac{\text{mg}}{\text{m}^3}$ und $a(t)$ die Algenkonzentration in $\frac{\text{mg}}{\text{m}^3}$.

Für $0 \le t \le 40$ zeigt die Abbildung 2 den Graphen von $p$, die Abbildung 3 den Graphen der ersten Ableitungsfunktion von $a$.

c

Beurteilen Sie anhand der Abbildungen 2 und 3 die folgende Aussage:

Ab dem Zeitpunkt, ab dem sich die Phosphorkonzentration verringert, verringert sich auch die Algenkonzentration.

Zur Bestimmung der Wasserqualität eines Gewässers wurde über einen Zeitraum von 40 Jahren der Zusammenhang zwischen der Phosphorkonzentration und der Algenkonzentration in dem Gewässer untersucht.

Die zeitliche Entwicklung der Phosphorkonzentration kann modellhaft durch die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $p$ und die zeitliche Entwicklung der zugehörigen Algenkonzentration durch die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $a$ beschrieben werden. Dabei ist $t$ die seit Beobachtungsbeginn vergangene Zeit in Jahren, $p(t)$ die Phosphorkonzentration in $\frac{\text{mg}}{\text{m}^3}$ und $a(t)$ die Algenkonzentration in $\frac{\text{mg}}{\text{m}^3}$.

Für $0 \le t \le 40$ zeigt die Abbildung 2 den Graphen von $p$, die Abbildung 3 den Graphen der ersten Ableitungsfunktion von $a$.

d

Zehn Jahre nach Beobachtungsbeginn beträgt die Algenkonzentration $100\ \frac{\text{mg}}{\text{m}^3}$.

Bestimmen Sie die Algenkonzentration zu Beobachtungsbeginn. Veranschaulichen Sie Ihr Vorgehen in der Abbildung 3.

Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x) = \frac{3}{1000} \cdot x^4 - \frac{8}{100} \cdot x^3 + \frac{6}{10} \cdot x^2$.

Abbildung 1 zeigt den Graphen von $f$ sowie den Punkt $P\left(0 \mid -\frac{5}{8}\right)$.

a

Geben Sie die Koordinaten des Tiefpunkts des Graphen von $f$ an. Zeigen Sie rechnerisch, dass der Graph von $f$ keine weiteren Extrempunkte besitzt.

( |)

b

Die Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $(5 \mid f(5))$ wird mit $t$ bezeichnet. Ermitteln Sie eine Gleichung von $t$.

$y =$

c

Skizzieren Sie in Abbildung 1 zwei von $t$ verschiedene Tangenten an den Graphen von $f$, die die y-Achse im Punkt $P$ schneiden und deren Steigungen unterschiedliche Vorzeichen haben.

Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x) = \frac{3}{1000} \cdot x^4 - \frac{8}{100} \cdot x^3 + \frac{6}{10} \cdot x^2$.

Abbildung 1 zeigt den Graphen von $f$ sowie den Punkt $P\left(0 \mid -\frac{5}{8}\right)$.

d

Der Graph der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $g$ kann aus dem Graphen von $f$ erzeugt werden. Der Punkt $(12 \mid 12)$ des Graphen von $g$ wird dabei aus dem Punkt $(10 \mid 10)$ des Graphen von $f$ erzeugt und für alle $x \in \mathbb{R}$ gilt $g(x) = a \cdot f(b \cdot x)$ mit $a, b \in \mathbb{R}^+$.

Geben Sie in diesem Zusammenhang die Bedeutung von $a$ und $b$ an und berechnen Sie die Werte von $a$ und $b$.

$a =$

$b =$

Aufgabe 2

Zwei Radfahrer starten gleichzeitig nebeneinander auf einer geradlinigen Bahn aus einer Ruheposition. Radfahrer A beschleunigt 10 Sekunden lang und fährt danach mit konstanter Geschwindigkeit weiter. Radfahrer B beschleunigt 12 Sekunden lang und fährt dann mit konstanter Geschwindigkeit weiter.

Abbildung 2 stellt die Geschwindigkeitsverläufe der beiden Radfahrer in den ersten 15 Sekunden nach dem Start dar. Dabei wird der Geschwindigkeitsverlauf von Radfahrer A in den ersten 10 Sekunden nach dem Start durch die Funktion $f$ aus Aufgabe 1 beschrieben. Der Geschwindigkeitsverlauf von Radfahrer B wird in den ersten 12 Sekunden nach dem Start durch eine Funktion $h$ beschrieben.

Dabei ist $x$ die seit dem Start vergangene Zeit in Sekunden und $f(x)$ bzw. $h(x)$ die Geschwindigkeit in Meter pro Sekunde.

a

Berechnen Sie die Geschwindigkeit von Radfahrer A drei Sekunden nach dem Start.

b

Nach dem Start gibt es genau einen Zeitpunkt, zu dem die Geschwindigkeiten beider Radfahrer gleich groß sind. Im Modell wird dieser Zeitpunkt mit $x_s$ bezeichnet.

Ermitteln Sie $x_s$ mithilfe von Abbildung 2 und geben Sie den Zeitraum an, in dem die Geschwindigkeit von Radfahrer A größer ist als die Geschwindigkeit von Radfahrer B.

Aufgabe 2

Zwei Radfahrer starten gleichzeitig nebeneinander auf einer geradlinigen Bahn aus einer Ruheposition. Radfahrer A beschleunigt 10 Sekunden lang und fährt danach mit konstanter Geschwindigkeit weiter. Radfahrer B beschleunigt 12 Sekunden lang und fährt dann mit konstanter Geschwindigkeit weiter.

Abbildung 2 stellt die Geschwindigkeitsverläufe der beiden Radfahrer in den ersten 15 Sekunden nach dem Start dar. Dabei wird der Geschwindigkeitsverlauf von Radfahrer A in den ersten 10 Sekunden nach dem Start durch die Funktion $f$ aus Aufgabe 1 beschrieben. Der Geschwindigkeitsverlauf von Radfahrer B wird in den ersten 12 Sekunden nach dem Start durch eine Funktion $h$ beschrieben.

Dabei ist $x$ die seit dem Start vergangene Zeit in Sekunden und $f(x)$ bzw. $h(x)$ die Geschwindigkeit in Meter pro Sekunde.

c)

Im Folgenden ist ein Lösungsweg für eine Aufgabe im gegebenen Sachzusammenhang dargestellt. Geben Sie die Bedeutung von $d(x)$ für $0 < x < x_s$ im Sachzusammenhang an und interpretieren Sie das Ergebnis $0{,}37$.

$$d(x) = f(x) - h(x)$$

$$d'(x) = 0 \text{ hat für } 0 < x < x_s \text{ nur die Lösung } x_1 \approx 3{,}64$$

$$d''(x_1) \approx -0{,}13 < 0$$

$$d(x_1) \approx 0{,}37$$

Vergleichen Sie Ihre Formulierungen mit der Musterlösung.

Aufgabe 2

Zwei Radfahrer starten gleichzeitig nebeneinander auf einer geradlinigen Bahn aus einer Ruheposition. Radfahrer A beschleunigt 10 Sekunden lang und fährt danach mit konstanter Geschwindigkeit weiter. Radfahrer B beschleunigt 12 Sekunden lang und fährt dann mit konstanter Geschwindigkeit weiter.

Abbildung 2 stellt die Geschwindigkeitsverläufe der beiden Radfahrer in den ersten 15 Sekunden nach dem Start dar. Dabei wird der Geschwindigkeitsverlauf von Radfahrer A in den ersten 10 Sekunden nach dem Start durch die Funktion $f$ aus Aufgabe 1 beschrieben. Der Geschwindigkeitsverlauf von Radfahrer B wird in den ersten 12 Sekunden nach dem Start durch eine Funktion $h$ beschrieben.

Dabei ist $x$ die seit dem Start vergangene Zeit in Sekunden und $f(x)$ bzw. $h(x)$ die Geschwindigkeit in Meter pro Sekunde.

d)

Berechnen Sie die Länge der Strecke, die Radfahrer A in den ersten 15 Sekunden nach dem Start zurücklegt.

e)

Es gibt ein $z$ mit $0 < z < 10$, für das gilt:

$$\int_0^z (f(x) - h(x))\,\mathrm{d}x = 0$$

Geben Sie die Bedeutung von $z$ im Sachzusammenhang an und begründen Sie im Sachzusammenhang, dass $z > x_s$ gilt.