Aufgabe 1: Einsatz eines Space Tethers im Erdmagn… · Abitur NRW Physik LK · Nachtermin 2022

Aufgabe: Einsatz eines Space Tethers im Erdmagnetfeld – das KITE-Experiment

Ein Space Tether (aus dem Englischen; space: „Raum“ und tether: „Leine“, „Spannseil“) ist ein langes, starkes Seil aus Metallfasern, das z. B. Satelliten paarweise zusammenhalten und einem wissenschaftlichen Vorschlag zufolge zur treibstoffsparenden Änderung der Umlaufbahn von Satelliten sowie zur Gewinnung von elektrischer Energie genutzt werden kann. Anfang 2017 wurde ein gut einwöchiges wissenschaftliches Experiment namens KITE (vgl. Abbildung 1) durchgeführt, welches u. a. die Funktionstüchtigkeit eines Space Tethers mit der Länge $l = 720\text{ m}$ demonstrieren sollte.

Teilaufgabe 1: Induktion im Erdmagnetfeld

a)

In Abbildung 2 (A) ist eine schematische, nicht maßstabsgetreue Darstellung einer möglichen Umlaufbahn des KITE-Satellitenpaars um die Erde sowie ein vereinfachtes Dipolmagnetfeld der Erde gezeigt. Nehmen Sie im Folgenden an, dass sich das Satellitenpaar mit konstanter Winkelgeschwindigkeit um die Erde bewegt, sodass die Ausrichtung des Space Tethers stets senkrecht zur Bewegungsrichtung ist. Das in Abbildung 2 (A) gezeigte Dipolmagnetfeld $\vec{B}$ der Erde kann bei der Bewegung des Satellitenpaars in einer festen Umlaufbahn als lokal homogen angesehen werden (B).

• Begründen Sie, weshalb das Erdmagnetfeld im Bereich des Satellitenpaars (vgl. Abbildung 2 (B)) näherungsweise als homogen betrachtet werden darf.

Am zweiten Tag der KITE-Mission waren Messungen und deren Beurteilungen zu der Möglichkeit, eine Spannung zwischen den Enden des eingesetzten Space Tethers zu induzieren, geplant. Die beiden mittels des Space Tethers der Länge $l$ verbundenen Satelliten sollen sich zunächst vereinfachend innerhalb der Äquatorebene gemäß Abbildung 2 gleichförmig mit dem Betrag $v$ der Bahngeschwindigkeit durch das Magnetfeld der Erde mit der Stärke $B$ bewegen.

• Erläutern Sie mittels einer Betrachtung der wirkenden Kräfte, dass zwischen den Enden des Tethers eine elektrische Spannung $U$ induziert wird.

• Zeigen Sie mittels eines Kraftansatzes, dass folgende Gleichung für die Spannung $U$ gilt: $U = l \cdot v \cdot B$.

Die obige Gleichung wird wie folgt umgeformt:

$$U = l \cdot v \cdot B = l \cdot \frac{\Delta s}{\Delta t} \cdot B = \frac{\Delta A}{\Delta t} \cdot B$$

Anschließend wird behauptet, dass die Induktionsspannung, welche durch die Lorentzkraft hervorgerufen wird, somit auch durch das allgemeinere Phänomen der „Induktion durch zeitliche Änderung einer felddurchsetzten Fläche $A$“ erklärt werden kann.

• Erläutern Sie die oben dargestellten Umformungsschritte.

• Stellen Sie die Zusammenhänge der obigen Umformungen in einer geeigneten Skizze dar, in welcher die genutzten Variablen und insbesondere die zeitliche Änderung der felddurchsetzten Fläche zu erkennen ist.

b)

Für die nachfolgenden Überlegungen nehmen Sie zunächst an, dass sich das Satellitenpaar in einer Höhe von $h = 370\text{ km}$ über dem Erdboden gemäß Abbildung 2 um die Erde (Erdradius $r_E = 6370\text{ km}$) bewegt. Für einen Umlauf um die Erde benötigt das Satellitenpaar eine Zeit von $T = 90\text{ min}$. Die Stärke des Erdmagnetfeldes beträgt in dieser Höhe etwa $B = 0{,}16\text{ mT}$.

• Berechnen Sie die Spannung, die unter diesen Bedingungen im Experiment induziert werden sollte.

Das KITE-Experiment wurde jedoch nicht auf einer Umlaufbahn innerhalb der Äquatorebene durchgeführt, sondern von der Internationalen Raumstation ISS aus gestartet. Die Umlaufbahn des Satellitenpaars verlief daher unter einem Inklinationswinkel von etwa $52^\circ$. Die veränderte Umlaufbahn ist in Abbildung 3 skizziert.

In Abbildung 4 sind drei $t$-$U$-Diagramme gezeigt, in welchen jeweils unterschiedliche zeitliche Verläufe einer Spannung dargestellt sind.

• Entscheiden Sie, welche zwei der qualitativen zeitlichen Verläufe (1) – (3) aus Abbildung 4 die induzierte Spannung, für die in Abbildung 3 dargestellte Umlaufbahn des Satellitenpaars, nicht wiedergeben können.

Begründen Sie Ihre Wahl:

Teilaufgabe 2: Elektrischer Strom beim Space Tether

Am 3. bis zum 5. Tag der KITE-Mission sollte ein möglicher elektrischer Strom durch den Tether untersucht werden. Der Stromkreis in dem KITE-Experiment sollte über die Ionosphäre geschlossen werden. Am negativen Pol des Space Tethers war geplant, die überschüssigen Elektronen mittels einer Feldemissionskathode abzugeben sowie aus der Ionosphäre freie Elektronen am Pluspol aufzunehmen und hierdurch einen elektrischen Strom durch den Space Tether zu ermöglichen.

a)

Zunächst wird die Feldemissionskathode genauer betrachtet. In Abbildung 5 ist eine qualitative Skizze zu dem Aufbau einer solchen Kathode sowie das elektrische Feld zwischen Kathode und Anode skizziert.

• Erläutern Sie, an welchen Stellen der Feldemissionskathode Elektronen am Wahrscheinlichsten austreten werden.

• Geben Sie einen weiteren physikalischen Effekt an, mit dem freie Elektronen erzeugt werden können und

• stellen Sie mindestens eine Vermutung dar, warum der von Ihnen angegebene Effekt wahrscheinlich nicht in der Satellitenmission genutzt worden ist.

b)

Bei Berechnungen vor der Mission hat man abgeschätzt, dass man innerhalb des Space Tethers eine mittlere Stromstärke $I$ von etwa $10\text{ mA}$ erwarten kann.

• Berechnen Sie, wie viele Elektronen die Feldemissionskathode pro Sekunde abgibt.

In Abbildung 6 ist eine vereinfachte Darstellung aus einer Originalveröffentlichung zu dem Einsatz von Space Tethern gezeigt.

• Ermitteln Sie die Richtung der Bahngeschwindigkeit $\vec{v}$ des in Abbildung 6 gezeigten Satellitenpaars (Papierebene nach links oder rechts):

• Bestimmen Sie die Richtung der Kraftwirkung $\vec{F}_T$ auf das Satellitenpaar, welche von dem Strom durch den Tether verursacht wird (nach links oder rechts):

• Skizzieren Sie die vom Schwerpunkt des Satellitenpaars ausgehenden repräsentativen Vektoren $\vec{v}$ und $\vec{F}_T$ in Abbildung 6.

Teilaufgabe 3: Technische Nutzung eines Space Tethers

Eine Zukunftsperspektive für den Einsatz eines Space Tethers ist die Entsorgung von alten Satelliten, den sogenannten „Ziel-Satelliten“ bzw. Weltraumschrott. Der Tether wird hierbei mittels eines „Jäger-Satelliten“ an die „Ziel-Satelliten“ mit Massen im Bereich einer Tonne, welche nicht mehr in Betrieb stehen, angebracht (vgl. Abbildung 7). Die aufgrund des elektrischen Stroms wirkende Lorentzkraft soll in diesem Fall die Gesamtenergie des Gespanns verringern und somit den Radius der Umlaufbahn nach und nach verkleinern. Nach einer gewissen Zeit würde das Satellitenpaar in die Erdatmosphäre eindringen und verglühen, der Weltraumschrott wäre entsorgt.

a)

• Berechnen Sie den Betrag der wirkenden Kraft auf den Space Tether der Länge $l = 720\text{ m}$, wenn die Stärke des Magnetfelds in der Umlaufbahn konstant $B = 0{,}16\text{ mT}$ und die Tether-Stromstärke $I = 10\text{ mA}$ beträgt.

Die klassische Gesamtenergie $E_{\text{ges}}$ des Satellitenpaars setzt sich aus seiner kinetischen Energie $E_{\text{kin}}$ und der potentiellen Energie $E_{\text{pot}}$ im Gravitationsfeld der Erde, bezogen auf die Erdoberfläche, zusammen.

Für einen Körper der Masse $m$ in einer Entfernung $r$ vom Erdmittelpunkt gilt:

$$E_{\text{pot}} = G \cdot m \cdot M \cdot \left(\frac{1}{r_E} - \frac{1}{r}\right),$$

wobei $G = 6{,}674 \cdot 10^{-11}\text{ m}^3/(\text{kg}\cdot\text{s}^2)$, $M = 5{,}972 \cdot 10^{24}\text{ kg}$ und $r_E = 6370\text{ km}$.

Für die folgenden Berechnungen soll ein Satellitenpaar der Masse $m = 1{,}000\text{ t}$ auf einer Umlaufbahn gemäß Abbildung 2 in einer Höhe von etwa $400\text{ km}$ mit einem Betrag der Bahngeschwindigkeit von $v = 28000\text{ km/h}$ betrachtet werden.

• Zeigen Sie, dass das Satellitenpaar auf seiner Umlaufbahn eine klassische Gesamtenergie von etwa $E = 34 \cdot 10^9\text{ J}$ besitzt.

• Berechnen Sie die Anzahl der Tage, in welcher die Gesamtenergie des Satellitenpaars – aufgrund der wirkenden Lorentzkraft – um $1\,\%$ abnimmt.

Hinweis: Nehmen Sie bei Ihren Berechnungen vereinfachend an, dass die Geschwindigkeit über den betrachteten Zeitraum konstant bleibt.

• Beurteilen Sie, ob mit dem Space Tether während der etwa einwöchigen KITE-Mission eine Änderung der Umlaufhöhe des Satellitengespanns möglich gewesen wäre.

b)

Nehmen Sie an, sie sollten das KITE-Experiment weiterentwickeln und sich überlegen, wie die wirkende Lorentzkraft vergrößert werden kann.

• Prüfen Sie, welche experimentellen Größen einen direkten Einfluss auf die Größe der wirkenden Lorentzkraft haben und

• stellen Sie dar, wie diese in einer neuen Mission für eine Erhöhung der wirkenden Lorentzkraft beitragen könnten.