Aufgabe 2 - Teilaufgaben 1b, 1c, 2 und 3 · Abitur NRW Physik LK · Haupttermin · Weiterbildungskolleg 2021

Aufgabenstellung:

Aufgabe: Experimentelle und theoretische Untersuchungen zu induktiven Vorgängen

Bei zahlreichen elektronischen Geräten lässt sich der Akku auch ohne Kabel laden. Betrachtet wird nun der Ladevorgang eines Smartphones, das dazu auf eine induktive Ladestation platziert wird (siehe Abbildung 1).

Die Energie wird von einer Ladespule in der Ladestation auf eine Empfängerspule im Smartphone übertragen. Zwischen den beiden Spulen besteht nicht die Verbindung eines elektrischen Leiters. Die Spulenströme und das magnetische Feld sind zur Veranschaulichung des Funktionsprinzips eingezeichnet.

Teilaufgabe 1 (Fortsetzung)

b)

Für eine konkrete Ladespule wird der Zusammenhang zwischen der Stärke $B$ des magnetischen Feldes und einer jeweils konstanten Stromstärke $I$ experimentell bestimmt. Für die Untersuchung wird eine Hallsonde, wie in Abbildung 3 dargestellt, genau in der Mitte der Spule so platziert, dass deren magnetisches Feld die Sonde (annähernd) homogen durchsetzt.

Bei der Durchführung des Experiments wird die Stärke $B$ des magnetischen Feldes für verschiedene Stromstärken $I$ in der Ladespule gemessen. Es ergeben sich die Messwerte in der folgenden Tabelle:

$I$ (in A)

0,00

0,05

0,15

0,25

0,35

0,45

0,55

$B$ (in µT)

0,0

46,5

115,2

221,8

256,3

381,3

460,5

Im Anschluss werden die Messergebnisse ausgewertet:

Zeigen Sie anhand einer Auswertung aller Messwerte in der Tabelle, dass die Stärke $B$ des Feldes näherungsweise proportional zur Stromstärke $I$ zunimmt, d. h. $B = k_{\text{exp}} \cdot I$ mit dem Proportionalitätsfaktor $k_{\text{exp}}$.

Ermitteln Sie unter Verwendung sämtlicher Messwerte der Tabelle einen Wert für den Proportionalitätsfaktor $k_{\text{exp}}$.

[Ergebnis zum Weiterrechnen: $k_{\text{exp}} = 8{,}27 \cdot 10^{-4}\ \frac{\text{T}}{\text{A}}$]

c)

Die in Aufgabenteil b) verwendete Ladespule besteht aus kreisförmigen Windungen und ist luftgefüllt. Konkret soll sie im Folgenden eine Windungszahl von $n_1 = 50$, einen (mittleren) Radius von $R = 4{,}00\text{ cm}$ und eine Länge von $l = 5{,}00\text{ mm}$ aufweisen. Somit ist die Länge der Spule im Vergleich zum Radius gering. Aufgrund theoretischer Überlegungen kann die Abhängigkeit der Stärke $B$ des von dieser Spule erzeugten Feldes von der Stromstärke $I$ mit folgendem Zusammenhang angegeben werden:

$$B = \mu_0 \cdot \frac{n_1}{\sqrt{(2R)^2 + l^2}} \cdot I.$$

Hierbei ist $\mu_0 = 4\pi \cdot 10^{-7}\ \frac{\text{N}}{\text{A}^2}$ die sogenannte magnetische Feldkonstante. Die Gleichung für die Stärke des Feldes muss nicht hergeleitet werden.

Berechnen Sie den Proportionalitätsfaktor $k_{\text{theo}} = \mu_0 \cdot \frac{n_1}{\sqrt{(2R)^2 + l^2}}$ für den theoretisch geltenden Zusammenhang.

Bestimmen Sie die prozentuale Abweichung des Wertes $k_{\text{exp}}$ aus Aufgabenteil 1b) von dem Wert für $k_{\text{theo}}$.

%

Die Stärke des Feldes einer (idealisierten) Spule der Länge $l = 0$ wird durch die einfachere Gleichung $B = \mu_0 \cdot \frac{n_1}{2R} \cdot I$ beschrieben.

Beurteilen Sie, inwieweit sich die vereinfachte Gleichung für den vorliegenden Fall rechtfertigen lässt.

Teilaufgabe 2: Untersuchung der Spannung an der Empfängerspule

Das Grundprinzip der kontaktlosen, induktiven Energieübertragung zwischen der Ladespule L1 und der Empfängerspule L2 im Smartphone ist in Abbildung 4 dargestellt.

Die induktive Energieübertragung gelingt mithilfe eines sogenannten Oszillators, der mit einer Spannung versorgt wird und einen periodisch veränderlichen Strom der Stärke $I_{\text{L1}}$ in der Ladespule L1 hervorruft. An der Empfängerspule L2 lässt sich dann eine Spannung $U_{\text{L2}}$ messen, die mit einem Gleichrichter so aufbereitet wird, dass ein Akku geladen werden kann.

a)

Erklären Sie auf der Grundlage eines möglichst allgemeinen Induktionsprinzips, weshalb sich an der Empfängerspule L2 eine Spannung $U_{\text{L2}}$ messen lässt.

Begründen Sie, weshalb bei einem zeitlich konstanten magnetischen Feld in der Ladespule L1 keine induktive Energieübertragung möglich ist.

Die Spannung an der Empfängerspule L2 kann durch die Gleichung $U_{\text{L2}} = -n_2 \cdot A \cdot \dot{B}$ beschrieben werden.

Erklären Sie die in der Gleichung vorkommenden physikalischen Größen in Bezug auf Abbildung 4.

b)

In der Ladespule L1 gemäß Abbildung 4 können verschiedene zeitliche Stromstärkeverläufe realisiert werden. In Abbildung 5 ist ein dreieckförmiger Verlauf der Stromstärke $I_{\text{L1}}$ in der Ladespule dargestellt.

Hieraus resultiere die Stärke $B$ des magnetischen Feldes in der Ladespule L1 entsprechend den Angaben in Aufgabenteil 1b). Die Empfängerspule L2 besitzt $n_2 = 30$ Windungen und eine Querschnittsfläche mit einem Inhalt von $A = 60{,}0\text{ cm}^2$.

Berechnen Sie mithilfe der in Aufgabenteil a) angegebenen Gleichung die Spannung $U_{\text{L2}}$ an der Empfängerspule L2 für eine steigende Flanke in Abbildung 5.

Zeichnen Sie unter Berücksichtigung der in Abbildung 5 rechts vorgegebenen Achse den zeitlichen Verlauf der Spannung $U_{\text{L2}}$ in das Diagramm ein. ( Hinweis: Die Achse rechts muss passend skaliert werden.)

c)

In Abbildung 6 ist ein sinusförmiger Verlauf der Stromstärke $I_{\text{L1}}$ in der Ladespule L1 dargestellt.

Die Periodendauer des sinusförmigen Stromstärkesignals in Abbildung 6 werde mit $T$ bezeichnet, die Amplitude der Stromstärke mit $I_{\text{L1},0}$. Aus der Stromstärke resultiere die Stärke $B$ des magnetischen Feldes in der Ladespule L1 entsprechend den Angaben in Aufgabenteil 1c).

Zeigen Sie, dass sich die Spannung an der Empfängerspule L2 durch die Gleichung

$$U_{\text{L2}}(t) = -\mu_0 \cdot \frac{n_1 \cdot n_2 \cdot A}{\sqrt{(2R)^2 + l^2}} \cdot \frac{2\pi}{T} \cdot I_{\text{L1},0} \cdot \cos\left(\frac{2\pi}{T} \cdot t\right)$$

beschreiben lässt.

Bestimmen Sie anhand des Diagramms in Abbildung 6 die Werte für $T$ und $I_{\text{L1},0}$.

Berechnen Sie die Amplitude $U_{\text{L2},0}$ der Spannung an der Empfängerspule L2.

d)

Mit dem Gleichrichter (siehe Abbildung 4) bleiben alle negativen Spannungen $U_{\text{L2}}$ ohne Einfluss, d. h. die am Akku anliegende Spannung $U_{\text{Akku}}$ beträgt dann jeweils Null, während alle positiven Spannungen nicht beeinflusst werden (siehe Abbildung 7).

Im Folgenden soll der dreieckförmige Verlauf der Stromstärke in Abbildung 5 mit dem sägezahnförmigen Verlauf in Abbildung 8 verglichen werden.

Gehen Sie davon aus, dass eine fallende Flanke in den Abbildungen 5 und 8 jeweils zu einer positiven Induktionsspannung führt und dass ein Gleichrichter wie oben beschrieben auf die induzierte Spannung $U_{\text{L2}}$ angewendet wird.

Vergleichen Sie die zeitlichen Verläufe in den Abbildungen 5 und 8 hinsichtlich der Spannung $U_{\text{Akku}}$, die zum Laden eines Smartphones bereitsteht.

Entscheiden Sie mithilfe einer quantitativen Betrachtung, welcher der beiden Verläufe sich besser zum Laden eines Smartphones eignet.

Teilaufgabe 3: Einfluss der Position des Smartphones auf der Ladestation

Bei der alltäglichen Verwendung induktiver Ladestationen kann es geschehen, dass das Smartphone nicht immer genau mittig auf die Ladestation gelegt wird. Viele Nutzerinnen und Nutzer verwenden außerdem zum Schutz ihres Smartphones eine mehr oder weniger dicke Schutzhülle. Beides trägt zu einer nicht mehr optimalen Positionierung des Smartphones auf der Ladestation bei.

a)

Erläutern Sie anhand des (allgemeinen) Induktionsprinzips, welche Auswirkungen dieser Umstand auf den Ladevorgang des Smartphones haben kann.

b)

Intelligente Ladestationen erkennen eine nicht optimale Positionierung des Smartphones auf der Ladestation und können darauf reagieren. Betrachten Sie im Folgenden das Beispiel des sägezahnförmigen Verlaufs der Stromstärke in der Ladespule in Abbildung 8 und gehen Sie davon aus, dass sich die Empfängerspule in einem Bereich mit nur 75 % der maximal möglichen Stärke des magnetischen Feldes befindet.

Ermitteln Sie mithilfe von Abbildung 8 den Wert, auf den die maximale Stromstärke $I_{\text{L1},\text{max}}$ in der Ladespule erhöht werden muss, um den Effekt der nicht optimalen Positionierung auszugleichen.

Unter der Annahme, dass die maximale Stromstärke bauartbedingt nicht erhöht werden kann, besteht auch anderweitig noch die Möglichkeit, den Ladevorgang zu optimieren.

Nennen Sie eine weitere Größe, die zur Optimierung des Ladevorgangs durch die zeitliche, elektronische Steuerung der Ladestation beeinflusst werden kann.

Ermitteln Sie mithilfe von Abbildung 8 einen Wert für diese Größe, um den Effekt der nicht optimalen Positionierung auszugleichen.