Aufgabe 1 (MMS 2) - Längen, Winkel und Abstände im Raum · Abitur NRW Mathematik LK · Teil B · Analytische Geometrie (CAS 2026

In einem Koordinatensystem sind die Punkte $A(12|0|0)$, $B(0|12|0)$ und $C(0|0|6)$ die Schnittpunkte der Ebene $E$ mit den Koordinatenachsen. Sie sind die Eckpunkte des in Abbildung 1 dargestellten Dreiecks $ABC$.

Betrachtet wird zusätzlich die Gerade $g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}$ mit $r \in \mathbb{R}$.

Betrachtet wird die Schar der Ebenen $E_m: x_1 + x_2 - m \cdot x_3 = 4 \cdot (1 - m)$ mit $m \in \mathbb{R}$. Jede Ebene dieser Schar entspricht einer Position, in die $E$ durch Drehung um die Gerade $g$ gebracht werden kann.

Betrachtet werden alle Dreiecke, bei denen die Eckpunkte auf drei verschiedenen Koordinatenachsen liegen. Bei solchen Dreiecken liegt jeder der drei Eckpunkte entweder auf dem positiven oder auf dem negativen Teil der zugehörigen Koordinatenachse. Dementsprechend unterscheidet man bei solchen Dreiecken zwischen acht verschiedenen Lagen; in Abbildung 2 sind zwei dieser Lagen dargestellt (Lage 1 und Lage 2).

a)

Berechnen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks $ABC$.

e)

Die Ebene $E$ wird nun durch eine solche Drehung um einen Winkel der Größe $60^\circ$ in eine neue Position gebracht. Berechnen Sie die Werte von $m$, für die die jeweilige Ebene $E_m$ einer solchen Position entspricht.