Aufgabe 1 (MMS 1) - Längen, Winkel und Abstände im Raum · Abitur NRW Mathematik LK · Teil B · Analytische Geometrie (CAS 2026

Abbildung 1 zeigt den Körper $ABCDEF$ mit den Eckpunkten $A(2|0|-0{,}5)$, $B(3|5|-0{,}5)$, $C(-3|5|-0{,}5)$, $D(-2|0|-0{,}5)$, $E(2|5|1)$ und $F(-2|5|1)$. Dieser stellt modellhaft eine aus dem Wasser ragende Sprungschanze für Wasserski dar. Das Viereck $AEFD$ beschreibt den sogenannten Schanzentisch, die $xy$-Ebene stellt die Wasseroberfläche dar. Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht einem Meter in der Realität.

Ein Wasserskifahrer fährt den Schanzentisch geradlinig hinauf, bis er die Kante erreicht, die im Modell der Strecke $\overline{EF}$ entspricht. Der anschließende Sprung beginnt an dieser Kante und endet auf der Wasseroberfläche. Insgesamt legen die Füße des Wasserskifahrers einen Weg zurück, der im Modell als Kurve in einer Ebene beschrieben werden kann, die senkrecht zur $xy$-Ebene liegt und mit $L$ bezeichnet wird. Die Ebene $L$ kann durch die Gleichung $10x - 3y = 0$ dargestellt werden. Die Orte des Absprungs und des Auftreffens auf der Wasseroberfläche werden im Modell durch die Punkte $V$ bzw. $W$ beschrieben. In Abbildung 2 ist die Kurve in der Ebene $L$ dargestellt; die eingetragene Weite des Sprungs ist die Länge einer Strecke, die im Modell ebenfalls in der Ebene $L$ liegt.

a)

Das Viereck AEFD ist ein Parallelogramm. Zeigen Sie, dass es auch ein Rechteck ist.

b)

Begründen Sie, dass die yz-Ebene eine Symmetrieebene des Körpers ABCDEF ist.

d)

Bestimmen Sie die Größe des Winkels, unter dem der Schanzentisch gegenüber der Wasseroberfläche geneigt ist.

e)

Der Teil des Schanzentischs, der sich oberhalb der Wasseroberfläche befindet, soll als Werbefläche genutzt werden. Die folgende Aussage stellt den ersten Schritt der Bestimmung des Flächeninhalts dieser Werbefläche dar:$$\text{Mit } \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -0{,}5 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 5 \\ 1{,}5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x \\ y \\ 0 \end{pmatrix} \text{ ergibt sich } r = \frac{1}{3}.$$Geben Sie die Bedeutung dieses Wertes $\frac{1}{3}$ für $r$ im Sachzusammenhang an und berechnen Sie den Flächeninhalt dieser Werbefläche.

g)

Im gegebenen Koordinatensystem wird der beschriebene Weg beim Sprung durch die Punkte $(0{,}3a \mid a \mid -0{,}05 \cdot (a - 2{,}61) \cdot (a - 13{,}39))$ mit geeigneten Werten von $a$ dargestellt. Von Interesse ist die Weite des Sprungs, die in Abbildung 2 veranschaulicht ist. Bestimmen Sie die Weite des Sprungs auf zehntel Meter gerundet.