Aufgabe 1 - Pyramide · Abitur NRW Mathematik GK · Teil B · Analytische Geometrie (WTR 2026

Betrachtet wird das in Abbildung 1 dargestellte gerade Prisma $ABCDEF$ mit der dreieckigen Grundfläche $ABC$. Im verwendeten Koordinatensystem gilt: $A(10 \mid 0 \mid 0)$, $B(10 \mid 5 \mid 20)$, $C(10 \mid -5 \mid 20)$ und $D(0 \mid 0 \mid 0)$.

Das Prisma beschreibt einen Behälter, in den Wasser gefüllt werden kann. Die zugehörige Öffnung des Behälters wird durch das Viereck $BEFC$ dargestellt. Die $xy$-Ebene beschreibt die Horizontale. Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht einem Zentimeter in der Wirklichkeit. Die Materialstärke des Behälters wird im Folgenden vernachlässigt.

Im Behälter befindet sich Wasser, dessen Volumen halb so groß wie das Fassungsvermögen des Behälters ist. Der Behälter wird um eine Achse, die durch die Gerade $AD$ beschrieben wird, langsam um einen Winkel der Größe $120^\circ$ gedreht (vgl. Abbildung 2). Die Ausgangsposition entspricht einem Drehwinkel der Größe $0^\circ$.

Der in Abbildung 3 mit durchgezogener Linie dargestellte Graph beschreibt modellhaft das Volumen des Wassers im Behälter in Abhängigkeit von der Größe des Drehwinkels für den Bereich $[\alpha; \beta]$.

Abbildung 1 zeigt die zur xz-Ebene symmetrische Pyramide ABCDS mit $A(0|-2|0)$, $B(5|-1|0)$, $C(5|1|0)$, $D(0|2|0)$ und $S(2|0|4)$.

a)

Zeigen Sie, dass die Grundfläche ABCD ein Trapez ist, und berechnen Sie ihren Flächeninhalt.

b)

Bestimmen Sie die Größe des Winkels, den die Kanten $\overline{CD}$ und $\overline{CS}$ einschließen.

°

c)

Betrachtet wird das Lot von Punkt D auf eine Gerade, die durch zwei Eckpunkte der Pyramide verläuft. Die folgenden beiden Gleichungen I und II liefern gemeinsam einen bestimmten Wert von $t$.

$$\text{I}\quad \vec{OP} = \vec{OC} + t \cdot \vec{CS} \quad \text{mit } t \in \mathbb{R}$$

$$\text{II}\quad \vec{DP} \circ \vec{CS} = 0$$

Erläutern Sie für diesen Wert von $t$ die Bedeutung des Punktes P im Zusammenhang mit den betrachteten geometrischen Objekten.

Die Ebene $F$ hat die Gleichung $z = 2$. Die Punkte $T$, $U(3{,}5|-0{,}5|2)$, $V$ und $W(1|1|2)$ sind die Schnittpunkte der Seitenkanten der Pyramide ABCDS mit der Ebene $F$ (vgl. Abbildung 2).

d)

Zeigen Sie, dass der Punkt W der Mittelpunkt der Strecke $\overline{DS}$ ist, und geben Sie die Koordinaten von T an.

e)

Die Trapeze TUVW und BUVC sind bezüglich einer Ebene H symmetrisch zueinander. Bestimmen Sie eine Gleichung von H.