Aufgabe 2 - Längen, Winkel und Abstände im Raum · Abitur NRW Mathematik GK · Teil B · Analytische Geometrie (CAS 2026

In einem Koordinatensystem ist ein Quader mit den Eckpunkten $O(0|0|0)$, $A(4|0|0)$, $B(4|4|0)$, $C$, $D$, $E$, $F$ und $G(0|4|5)$ gegeben (vgl. Abbildung 1). Die Fläche $OABC$ ist quadratisch.

Der Punkt $S(2|2|3)$ ist die Spitze der Pyramide $OABCS$ (vgl. Abbildung 2).

a)

Der Ortsvektor des Punktes $R$ ist durch $\vec{OR} = \frac{1}{2} \vec{OA} + \frac{1}{2} \vec{AB} + \vec{BF}$ gegeben. Zeichnen Sie den Punkt $R$ in Abbildung 1 ein.

b)

Genau eine der folgenden Gleichungen I bis III beschreibt eine Symmetrieebene des Quaders.

I $x + y = 0$

II $x - y = 0$

III $z = 2$

Entscheiden Sie, welche Gleichung dies ist, und begründen Sie für eine der anderen Gleichungen, dass die durch sie beschriebene Ebene keine Symmetrieebene des Quaders ist.

Der Punkt $S(2|2|3)$ ist die Spitze der Pyramide $OABCS$ (vgl. Abbildung 2).

c)

Berechnen Sie die Größe des Winkels, den die Kanten $\overline{AS}$ und $\overline{AB}$ einschließen.

°

e)

Für $0 \le k < 2$ werden die Pyramiden $OABCS_k$ mit Spitze $S_k(2|2|3-k)$ und $DEFGQ_k$ mit Spitze $Q_k(2|2|3+k)$ betrachtet. Bestimmen Sie den Wert von $k$, für den die Summe der Volumen der beiden zugehörigen Pyramiden $25\,\%$ des Volumens des Quaders beträgt.