Aufgabe 1 - Längen, Winkel und Abstände im Raum · Abitur NRW Mathematik GK · Teil B · Analytische Geometrie (CAS 2026

Betrachtet wird das in Abbildung 1 dargestellte gerade Prisma $ABCDEF$ mit der dreieckigen Grundfläche $ABC$. Im verwendeten Koordinatensystem gilt: $A(10|0|0)$, $B(10|5|20)$, $C(10|-5|20)$ und $D(0|0|0)$.

Das Prisma beschreibt einen Behälter, in den Wasser gefüllt werden kann. Die zugehörige Öffnung des Behälters wird durch das Viereck $BEFC$ dargestellt. Die $xy$-Ebene beschreibt die Horizontale. Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht einem Zentimeter in der Wirklichkeit. Die Materialstärke des Behälters wird im Folgenden vernachlässigt.

Im Behälter befindet sich Wasser, dessen Volumen halb so groß wie das Fassungsvermögen des Behälters ist. Der Behälter wird um eine Achse, die durch die Gerade $AD$ beschrieben wird, langsam um einen Winkel der Größe $120^\circ$ gedreht (vgl. Abbildung 2). Die Ausgangsposition entspricht einem Drehwinkel der Größe $0^\circ$.

Der in Abbildung 3 mit durchgezogener Linie dargestellte Graph beschreibt modellhaft das Volumen des Wassers im Behälter in Abhängigkeit von der Größe des Drehwinkels für den Bereich $[\alpha; \beta]$.

b

Zeigen Sie, dass das Volumen des Prismas $1000$ beträgt.

[2 BE]

d

Zeichnen Sie den Graphen für den Bereich $[0^\circ; \alpha[$ ein.

[3 BE]

Bei der Drehung des Behälters hat der Drehwinkel, dessen Größe mit $\alpha$ bezeichnet wird, bezüglich der Wasserfüllung des Behälters eine bestimmte Bedeutung. Geben Sie diese Bedeutung an.

e

Bestimmen Sie rechnerisch einen geeigneten Wert für $\beta$ und erläutern Sie Ihren Ansatz.

[4 BE]