Aufgabe 2 - Längen, Winkel und Abstände im Raum · Abitur NRW Mathematik GK · Teil B · Analytische Geometrie (WTR 2025

Aufgabe

Die Abbildung zeigt die Pyramide $ABCDS$. Ihre Grundfläche $ABCD$ ist ein Drachenviereck mit den Eckpunkten $A(0|0|0)$, $B(2|2|0)$, $C(0|6|0)$ und $D(-2|2|0)$. Die Spitze der Pyramide liegt im Punkt $S(0|0|6)$.

a)

Berechnen Sie die Länge der kürzesten und die Länge der längsten der acht Kanten sowie das Volumen der Pyramide ABCDS.

[5 BE]

c)

Die Seitenfläche $BCS$ der Pyramide liegt in der Ebene $E$ mit der Gleichung $2x + y + z = 6$.

Bestimmen Sie die Größe des Winkels, den die Ebene $E$ mit der xy-Ebene einschließt.

[3 BE]

°

d)

Der Punkt $B$ wird nun so parallel zur y-Achse verschoben, dass für den dadurch entstehenden Punkt $B'$ gilt:

Das Viereck $AB'CD$ hat in $B'$ einen rechten Innenwinkel.

Um die Koordinaten von $B'$ zu bestimmen, kann folgender Ansatz verwendet werden:

$$\begin{pmatrix} 2 \\ y \\ 0 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 2 \\ y - 6 \\ 0 \end{pmatrix} = 0$$

Erläutern Sie diesen Ansatz.

[3 BE]