Aufgabe 1 - Längen, Winkel und Abstände im Raum · Abitur NRW Mathematik GK · Teil B · Analytische Geometrie (WTR 2025

Ein Partyzelt wird beschrieben durch einen zusammengesetzten Körper bestehend aus einem geraden Prisma und einer geraden Pyramide (vgl. Abbildung 1). Die Grundfläche des Prismas ist ein Achteck. Abbildung 2 zeigt den zusammengesetzten Körper in einem Koordinatensystem.

Die Punkte $A(5|0|0)$, $B(4|3|0)$, $C(0|5|0)$, $D(5|0|3)$, $E(4|3|3)$, $F(0|5|3)$ und $S(0|0|5)$ sind Eckpunkte des zusammengesetzten Körpers. Die $x_1x_3$-Ebene und die $x_2x_3$-Ebene des Koordinatensystems sind Symmetrieebenen des zusammengesetzten Körpers. Die $x_1x_2$-Ebene beschreibt die Horizontale. Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht $1\text{ m}$ in der Realität.

a)

Abbildung 3 zeigt einen Teil der Grundfläche des Prismas in der $x_1x_2$-Ebene. Vervollständigen Sie die Grundfläche in Abbildung 3.

b)

An allen acht gleich langen Dachkanten, die in der Spitze des Partyzeltes zusammenlaufen, soll jeweils eine Girlande angebracht werden. Dabei muss jede Girlande $60\text{ cm}$ länger als die zugehörige Dachkante sein. Bestimmen Sie die Gesamtlänge aller Girlanden.

d)

Das Dreieck $EFS$ liegt in der Ebene mit der Gleichung $x_1 + 2x_2 + 5x_3 = 25$.

Berechnen Sie die Größe des Neigungswinkels der Dachfläche, die durch das Dreieck $EFS$ beschrieben wird, gegenüber der Horizontalen.