Aufgabe 2 - Längen, Winkel und Abstände im Raum · Abitur NRW Mathematik GK · Teil B · Analytische Geometrie (CAS 2025

Betrachtet wird ein gerades Prisma mit den Eckpunkten $A$, $B$, $C$, $D$, $E$ und $F$. Seine Grundfläche ist das Dreieck $ABC$.

$A(-2|0|0)$, $B(2|0|0)$, $C(0|8|0)$, $D(-2|0|4)$, $E(2|0|4)$, $F(0|8|4)$

Im Folgenden wird die Gerade $g$ mit der Gleichung $\vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 12 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}$, $t \in \mathbb{R}$ betrachtet.

Des Weiteren wird der Punkt $F$ durch den Punkt $F_t(0 \mid t \mid 12 - t)$ mit $0 < t \le 8$ ersetzt.

Für jeden Wert von $t$ liegt der Punkt $F_t$ auf der Gerade $g$ (vgl. Abbildung 2).

Mit $M$ wird der Mittelpunkt der Basis $\overline{DE}$ des gleichschenkligen Dreiecks $EF_tD$ bezeichnet.

a)

Abbildung 1 zeigt die Kante $\overline{\mathrm{BC}}$ des Prismas. Zeichnen Sie das Prisma in Abbildung 1 ein und berechnen Sie das Volumen des Prismas.

VE

d)

Zeigen Sie rechnerisch, dass für $t = 4$ die Strecke $\overline{\mathrm{MF}_t}$ senkrecht auf der Gerade $g$ steht.

e)

Begründen Sie ohne Rechnung, dass der Flächeninhalt des Dreiecks $\mathrm{EF}_t\mathrm{D}$ für $t = 4$ am kleinsten ist.