Aufgabe 2 - Längen, Winkel und Abstände im Raum · Abitur NRW Mathematik GK · Teil B · Analytische Geometrie (WTR 2019

Ein Haus kann modellhaft durch den abgebildeten Körper $ABCDIJKL$ dargestellt werden. Das Dachgeschoss des Hauses entspricht dabei dem Prisma $EFGHIJKL$; der Teilkörper $ABCDEFGH$ ist ein Quader. Der Teil der Fassade des Hauses, der durch das Viereck $IEHL$ dargestellt wird, ist vollständig verglast; weitere Fenster hat das Dachgeschoss nicht.

Im verwendeten kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte $A(0|0|0)$, $G(10|6|10)$, $H(0|6|10)$, $K(10|6|10{,}5)$ und $L(0|6|13)$ gegeben. Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht einem Meter in der Realität.

a)

Berechnen Sie das Volumen des Hauses.

Zur Gestaltung der Außenwände des Hauses werden verschiedene Farben zum Mischen gekauft. Die Einträge des Vektors $\vec{m} = \begin{pmatrix} w \\ r \\ g \\ b \end{pmatrix}$ geben jeweils in Liter die Menge der weißen, roten, grünen und blauen Farbe an, die Einträge des Vektors $\vec{p} = \begin{pmatrix} 2{,}50 \\ 3{,}40 \\ 3{,}50 \\ 3{,}20 \end{pmatrix}$ in entsprechender Reihenfolge jeweils den Preis für einen Liter Farbe in Euro.

d)

Beschreiben Sie die Bedeutung des Terms $\vec{m} \circ \vec{p}$ im Sachzusammenhang.

e)

Es gilt $\vec{m} \circ \vec{p} = 250$. Es wurde genau so viel Farbe gekauft, dass die weiße, rote, grüne und blaue Farbe im Verhältnis $12: 1: 2: 3$ gemischt werden können. Berechnen Sie für jede Farbe die gekaufte Menge.

f)

Gemäß der Verordnung zur Berechnung der Wohnfläche werden die Grundflächen von Raumteilen, die höchstens einen Meter hoch sind, nicht angerechnet. Bestimmen Sie den prozentualen Anteil der Bodenfläche des Dachgeschosses, für den diese Regelung gilt.

%