Aufgabe 2 - Längen, Winkel und Abstände im Raum · Abitur NRW Mathematik LK · Teil B · Analytische Geometrie (CAS 2019

Die Abbildung zeigt den Körper $ABCDEF$ mit $B(4{,}5|0|0)$, $D(0|0|12)$, $E(4{,}5|0|9)$ und $F(0|6|10{,}5)$. Die Grundfläche liegt in der $x_1x_2$-Ebene, die Seitenflächen stehen dazu senkrecht. Die Punkte $G$ und $H$ liegen auf den Kanten $\overline{AD}$ bzw. $\overline{CF}$ und haben die gleiche $x_3$-Koordinate wie $E$.

Betrachtet wird die Ebene $$W: \vec{x} = \begin{pmatrix} 4{,}5 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} -4{,}5 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ -6 \\ 12 \end{pmatrix} \quad \text{mit } r, s \in \mathbb{R}.$$

a)

Begründen Sie, dass das Viereck $DGHF$ ein Trapez ist, und bestimmen Sie das Volumen des Teilkörpers $DGHFE$.

b)

Der Punkt $M(m_1 \mid m_2 \mid 0)$ hat von allen Seiten des Dreiecks $ABC$ den gleichen Abstand.

Begründen Sie, dass $m_1 = m_2$ gilt.

c)

Die Gleichungen I und II liefern gemeinsam die Lösung einer Aufgabe:

$$\text{I } \left|\begin{pmatrix} 4{,}5 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} -4{,}5 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} m_1 \\ m_1 \\ 0 \end{pmatrix}\right| = m_1 \qquad \text{II } \left(\begin{pmatrix} 4{,}5 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} -4{,}5 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} m_1 \\ m_1 \\ 0 \end{pmatrix}\right) \circ \begin{pmatrix} -4{,}5 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix} = 0$$

Formulieren Sie eine passende Aufgabenstellung und erläutern Sie die beiden Gleichungen.

f)

Betrachtet wird zudem die Schar der Geraden $g_u: \vec{x} = \begin{pmatrix} 4{,}5 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -4{,}5 \\ 6 - 6u \\ 12u \end{pmatrix}$ mit $u \in \mathbb{R}$ und $t \in \mathbb{R}$.

Ermitteln Sie diejenigen Werte von $u$, für die $g_u$ die $x_1x_2$-Ebene jeweils unter einem Winkel der Größe $30^\circ$ schneidet.