Aufgabe 1 - Längen, Winkel und Abstände im Raum · Abitur NRW Mathematik LK · Teil B · Analytische Geometrie (WTR 2019

a) Zeichnen Sie das Viereck IJKL in die Abbildung ein.

Lösung: Das Viereck wird gebildet, indem die Punkte $I(5|0|1)$, $J(2|5|0)$, $K(0|5|2)$ und $L(1|0|5)$ auf den jeweiligen Kanten markiert und zyklisch miteinander verbunden werden.

b) Zeigen Sie, dass das Viereck IJKL ein Trapez ist, in dem zwei gegenüberliegende Seiten gleich lang sind.

Lösung: $\vec{IL} = \begin{pmatrix} -4 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix}$ und $\vec{JK} = \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}$ sind kollinear, da $\vec{IL} = 2 \cdot \vec{JK}$. Somit sind die Seiten $[IL]$ und $[JK]$ parallel. Zudem gilt: $|\vec{IJ}| = \sqrt{(-3)^2 + 5^2 + (-1)^2} = \sqrt{9 + 25 + 1} = \sqrt{35}$ $|\vec{KL}| = \sqrt{1^2 + (-5)^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 25 + 9} = \sqrt{35}$ Also ist $|\vec{IJ}| = |\vec{KL}|$.

d) Nachweis: Zeigen Sie, dass T' durch die Gleichung -5x_1 + 4x_2 + 5x_3 - 5 = 0 beschrieben wird.

Lösung: Spiegelt man die Punkte $I$, $J$ und $K$ an der Ebene $x_1 = 2{,}5$, so erhält man: $I'(0|0|1)$, $J'(3|5|0)$ und $K'(5|5|2)$. Einsetzen in die gegebene Ebenengleichung von $T'$: Für $I'$: $-5 \cdot 0 + 4 \cdot 0 + 5 \cdot 1 - 5 = 0$ Für $J'$: $-5 \cdot 3 + 4 \cdot 5 + 5 \cdot 0 - 5 = -15 + 20 - 5 = 0$ Für $K'$: $-5 \cdot 5 + 4 \cdot 5 + 5 \cdot 2 - 5 = -25 + 20 + 10 - 5 = 0$ Da die drei Punkte nicht auf einer Geraden liegen und alle die Ebenengleichung erfüllen, beschreibt $-5x_1 + 4x_2 + 5x_3 - 5 = 0$ die gespiegelte Ebene $T'$.

d) Berechnen Sie die Größe des Winkels, unter dem sich T und T' schneiden.

Lösung: $76°$ / $75{,}96°$

e) Kann die Höhe dieser Pyramide 2 sein?

Lösung: Nein

e) Begründung und Rechnung: Die Spitze einer Pyramide mit der Grundfläche IJKL liegt auf der Strecke FG. Untersuchen Sie, ob die Höhe dieser Pyramide 2 sein kann.

Lösung: Koordinaten der Spitze: $S(5|t|5)$ mit $t \in [0;5]$. Abstand von $S$ zur Ebene $T$: $$d(S, T) = \frac{|5 \cdot 5 + 4t + 5 \cdot 5 - 30|}{\sqrt{5^2 + 4^2 + 5^2}} = \frac{|4t + 20|}{\sqrt{66}}$$ Da $t \in [0;5]$ ist $4t + 20 > 0$, also $\frac{4t + 20}{\sqrt{66}} = 2 \iff 4t + 20 = 2\sqrt{66} \approx 16{,}25 \iff 4t \approx -3{,}75 \iff t \approx -0{,}9$. Da $-0{,}9 \notin [0;5]$, kann die Höhe der Pyramide nicht $2$ sein.