Aufgabe 1 - Längen, Winkel und Abstände im Raum · Abitur NRW Mathematik GK · Teil B · Analytische Geometrie (WTR 2019

a) Zeichnen Sie das Viereck IJKL in die Abbildung ein.

Lösung: Die Punkte $I(5|0|1)$, $J(2|5|0)$, $K(0|5|2)$ und $L(1|0|5)$ werden auf den Kanten des Würfels eingetragen und zu einem geschlossenen Viereck verbunden.

b) Zeigen Sie, dass das Viereck IJKL ein Trapez ist, in dem zwei gegenüberliegende Seiten gleich lang sind. Weisen Sie nach, dass die Seite $\overline{IL}$ des Trapezes doppelt so lang ist wie die Seite $\overline{JK}$.

Lösung: $\vec{IL} = \begin{pmatrix} -4 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix} = 2 \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} = 2 \cdot \vec{JK}$, folglich gilt $\overline{IL} \parallel \overline{JK}$ und $|\vec{IL}| = 2 \cdot |\vec{JK}|$. Zudem gilt $|\vec{IJ}| = |\vec{LK}| = \sqrt{35}$.