Aufgabe 2 - Längen, Winkel und Abstände im Raum · Abitur NRW Mathematik LK · Teil B · Analytische Geometrie (WTR 2019

Die Abbildung 1 stellt einen bearbeiteten Edelstein dar. Im verwendeten kartesischen Koordinatensystem, in dem eine Längeneinheit einem Millimeter in der Wirklichkeit entspricht, sind die Quadrate $ABCD$ und $EFGH$ mit $A(4|4|-1)$ und $E(2|2|0)$ parallel zur xy-Ebene. Die Mittelpunkte der beiden Quadrate sowie der Punkt $S(0|0|-5)$ liegen auf der z-Achse.

Die Abbildung 2 stellt den Edelstein nach einem zusätzlichen Bearbeitungsschritt dar, bei dem ein pyramidenförmiges Stück abgeschliffen wurde. Das Viereck $EIJK$ mit $I(4|2|-1)$ und $K(2|4|-1)$ ist ein Drachenviereck und liegt in der Ebene $W$.

Ein Laserstrahl, der auf den Edelstein trifft, kann im Modell mithilfe einer Gerade beschrieben werden, seine Richtung durch den Vektor $\vec{LM} = \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ -t \end{pmatrix}$ mit $t > 0$. Der Auftreffpunkt wird durch $M(0|0|0)$ dargestellt.

Beim Übergang in den Edelstein ändert der Laserstrahl seine Richtung. Die Abbildung 3 zeigt in der yz-Ebene schematisch den Verlauf des Strahls. Es gilt $\sin \alpha = 2 \sin \beta$.

d)

Berechnen Sie das Volumen des Teils des Edelsteins, der durch den zusätzlichen Bearbeitungsschritt verloren ging.

e)

In weiteren Bearbeitungsschritten werden auch an den Eckpunkten des Edelsteins, die durch B, C und D dargestellt sind, pyramidenförmige Stücke gleicher Form und Größe abgeschliffen. Anschließend ist der Edelstein symmetrisch bezüglich der Achse, die im Modell durch die z-Achse beschrieben wird. Beurteilen Sie, ob die folgende Aussage richtig ist:

Eine der drei Flächen, die durch die weiteren Bearbeitungsschritte entstanden sind, liegt im Modell in der Ebene mit der Gleichung

$$\vec{x} = \begin{pmatrix} -2 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \quad \text{mit } r, s \in \mathbb{R}.$$

2. Teilaufgabe

Ein Laserstrahl, der auf den Edelstein trifft, kann im Modell mithilfe einer Gerade beschrieben werden, seine Richtung durch den Vektor $\vec{LM} = \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ -t \end{pmatrix}$ mit $t > 0$. Der Auftreffpunkt wird durch $M(0|0|0)$ dargestellt.

Beim Übergang in den Edelstein ändert der Laserstrahl seine Richtung. Die Abbildung 3 zeigt in der yz-Ebene schematisch den Verlauf des Strahls. Es gilt $\sin\alpha = 2\sin\beta$.

a)

Bestimmen Sie für $\alpha = 45^\circ$ ohne zu rechnen den zugehörigen Wert von $t$.

b)

Zeigen Sie, dass $\sin\alpha = \frac{1}{\sqrt{1+t^2}}$ gilt.

c)

Ermitteln Sie einen Vektor, der die Richtung des Laserstrahls im Edelstein in Abhängigkeit von $t$ beschreibt. Veranschaulichen Sie Ihr Vorgehen in der Abbildung 3.