Aufgabe 1 - Geraden und Ebenen: Gleichungen und L… · Abitur NRW Mathematik GK · Teil B · Analytische Geometrie (CAS 2025

Ein Partyzelt wird beschrieben durch einen zusammengesetzten Körper bestehend aus einem geraden Prisma und einer geraden Pyramide (vgl. Abbildung 1). Die Grundfläche des Prismas ist ein Achteck. Abbildung 2 zeigt den zusammengesetzten Körper in einem Koordinatensystem.

Die Punkte $A(5|0|0)$, $B(4|3|0)$, $C(0|5|0)$, $D(5|0|3)$, $E(4|3|3)$, $F(0|5|3)$ und $S(0|0|5)$ sind Eckpunkte des zusammengesetzten Körpers. Die $x_1x_3$-Ebene und die $x_2x_3$-Ebene des Koordinatensystems sind Symmetrieebenen des zusammengesetzten Körpers. Die $x_1x_2$-Ebene beschreibt die Horizontale. Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht $1\text{ m}$ in der Realität.

c)

Bestimmen Sie eine Gleichung der Ebene, in der das Dreieck EFS liegt, in Koordinatenform.

(zur Kontrolle: $x_1 + 2x_2 + 5x_3 = 25$)

e)

Im Inneren des Partyzelts befindet sich eine gerade Schiene, deren Enden im Modell der Punkt S und der Mittelpunkt M(2|4|3) der Strecke $\overline{\text{EF}}$ sind. Ein Strahler bewegt sich entlang der gesamten Schiene und sendet dabei einen Laserstrahl in der Richtung, die durch den Vektor $\begin{pmatrix} -1 \\ -2 \\ -2 \end{pmatrix}$ dargestellt werden kann, in den Innenraum des Partyzelts aus.

Auf einer Zeltwand befindet sich an einer Stelle ein kleines Loch. Diese Stelle wird durch den Punkt L(-2|-4|0,5) beschrieben. Um zu untersuchen, ob durch dieses Loch der Laserstrahl nach außen dringen kann, wird der Lösungsansatz$$\vec{OP_t} + r \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ -2 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ -4 \\ 0{,}5 \end{pmatrix}\quad \text{betrachtet, wobei}\quad \vec{OP_t} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 5 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ -2 \end{pmatrix}\quad \text{mit } t \in [0;1] \text{ gilt.}$$

Erläutern Sie die geometrischen Sachverhalte, die diesem Lösungsansatz zugrunde liegen, und deuten Sie diese im Sachzusammenhang.