Aufgabe 1 - Funktionsterme bestimmen · Abitur NRW Mathematik GK · Teil B · Analysis (CAS) 2019

Im Rahmen eines Unterrichtsprojekts wurden unterschiedliche Kugelbahnkörper gefertigt und hinsichtlich ihrer Eigenschaften untersucht. Zwei dieser Bahnkörper sind in Abbildung 1 schematisch dargestellt.

Im Längsschnitt jeder der Bahnen F und G

kann die Profillinie der Bahn modellhaft mithilfe einer Funktion beschrieben werden;

wird der Startpunkt, von dem aus die Kugel die Bahn durchläuft, durch den Punkt $S(0|2)$ dargestellt, der Endpunkt durch den Punkt $E\left(2\middle|\frac{1}{2}\right)$.

Der horizontale Untergrund, auf dem die beiden Bahnkörper stehen, wird jeweils durch die x-Achse beschrieben; eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht einem Meter in der Wirklichkeit.

Die Beschreibung der Profillinie der Bahn F erfolgt mithilfe der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $f\colon x \mapsto \frac{3}{11}x^3 - \frac{81}{44}x + 2$.

Die Bahn G verläuft gerade. Die Beschreibung ihrer Profillinie erfolgt mithilfe einer Funktion $g$.

Die Körper der Bahnen F und G wurden von einem einzigen massiven Kunststoffquader mit den Seitenlängen $200\text{ cm}$, $250\text{ cm}$ und $10\text{ cm}$ abgeschnitten (vgl. Abbildung 2).

Für jede der Bahnen F und G wurde in bestimmten horizontalen Entfernungen vom Startpunkt jeweils die Geschwindigkeit der Kugel gemessen. Die Messwerte können der Tabelle entnommen werden:

Die Profillinie einer weiteren Bahn H kann durch die Funktion $h\colon x \mapsto 2 - \sqrt{\frac{25}{8}x - x^2}$ mit $x \in [0; 2]$ beschrieben werden. Abbildung 3 zeigt den Graphen von $h$ sowie den Punkt $M\left(\frac{25}{16}\middle|2\right)$.

e)

Die Bahn G verläuft gerade. Die Beschreibung ihrer Profillinie erfolgt mithilfe einer Funktion $g$.

Zeichnen Sie den Graphen von $g$ für $0 \le x \le 2$ in das Koordinatensystem ein und zeigen Sie, dass $g(x) = -\frac{3}{4}x + 2$ gilt.

j)

Aufgrund der Messwerte lässt sich vermuten, dass die Geschwindigkeit der Kugel auf der Bahn, für die die Messwerte II ermittelt wurden, in jedem Punkt mindestens so groß war wie in gleicher horizontaler Entfernung vom Startpunkt auf der anderen Bahn. Der Zusammenhang zwischen den Messwerten und den horizontalen Entfernungen vom Startpunkt kann jeweils modellhaft durch eine Gleichung beschrieben werden:

Messwerte I: $v_{\text{I}}(x) = \sqrt{m \cdot x}$

Messwerte II: $v_{\text{II}}(x) = \sqrt{a \cdot x^3 + b \cdot x^2 + c \cdot x + d}$

Bestimmen Sie die Werte von $m$ sowie von $a$, $b$, $c$ und $d$. Prüfen Sie, ob die beiden Modelle zu den Messwerten I und II die Vermutung stützen.