Aufgabe CAS 1 - Aufgabe 2 - Funktionsterme bestimmen · Abitur NRW Mathematik GK · Teil B · Analysis (CAS) 2018

Papierflieger verlassen die Hand eines Werfers in einer bestimmten Abwurfhöhe, unter einem bestimmten Abwurfwinkel und mit einer bestimmten Anfangsgeschwindigkeit. Die Flugkurven können abhängig von diesen drei Bedingungen sowie von der jeweiligen Bauweise des Papierfliegers unterschiedlich verlaufen. Im Folgenden sollen drei Typen von Flugkurven unterschieden werden, die in der Abbildung schematisch dargestellt sind.

Wird die Größe der betrachteten Papierflieger vernachlässigt, können die Flugkurven bei Verwendung eines Koordinatensystems, dessen $x$-Achse entlang des horizontalen Bodens und dessen $y$-Achse durch den Abwurfpunkt verläuft, modellhaft mithilfe von Funktionen beschrieben werden. Im Folgenden soll der $x$-Wert der horizontalen Entfernung des Papierfliegers vom Abwurfpunkt entsprechen, der zugehörige Funktionswert der Flughöhe (jeweils in Metern).

Im Folgenden wird ein Papierflieger betrachtet, der sich bei jedem Flug entlang einer Flugkurve vom Typ P bewegt. Er wird in $2\text{ m}$ Höhe abgeworfen und erreicht seine größte Höhe in einer horizontalen Entfernung von $2\text{ m}$ vom Abwurfpunkt. Seine möglichen Flugkurven lassen sich näherungsweise mithilfe ganzrationaler Funktionen zweiten Grades beschreiben.

Ein Papierflieger bewegt sich entlang einer Flugkurve vom Typ P. Er wird in $2\text{ m}$ Höhe abgeworfen und erreicht seine größte Höhe bei $x = 2$.

b)

Zeigen Sie, dass sich alle möglichen Flugkurven dieses Papierfliegers im Modell mithilfe der in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $p_k$ mit $p_k(x) = -0{,}25k \cdot x^2 + k \cdot x + 2$ und $k \in \mathbb{R}^+$ beschreiben lassen.

c)

Ermitteln Sie denjenigen Wert von $k$, für den der Papierflieger eine Flugweite von $6\text{ m}$ hat. Skizzieren Sie die Graphen der Funktionen $p_{\frac{1}{4}}$ und $p_{\frac{2}{3}}$.

$k =$