Aufgabe 1 - Differentialrechnung · Abitur NRW Mathematik LK · Teil B · Analysis (CAS) 2026

Gegeben ist die Schar der in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $f_a$ mit $f_a(x) = \frac{60}{a} \cdot x \cdot (x-a)^2$ und $a \in \mathbb{R}^+$. Der Graph von $f_a$ wird mit $G_a$ bezeichnet.

An einem bestimmten Sommertag hat das Strandbad an einem Badesee von 9:00 Uhr bis 21:00 Uhr geöffnet. Außerhalb der Öffnungszeiten befindet sich kein Gast im Strandbad. Am betrachteten Tag wird die Anzahl der Gäste erfasst, die bis zu einem bestimmten Zeitpunkt das Strandbad betreten. Dabei wird vereinfachend angenommen, dass an diesem Tag jeder Gast genau einmal das Strandbad betritt.

Die in $[0;12]$ definierte Funktion $g$ ist durch$$g(x) = \begin{cases} f_{11}(x) & \text{für } 0 \le x \le 11 \\ 0 & \text{für } 11 < x \le 12 \end{cases}$$festgelegt. Die Funktion $g$ beschreibt modellhaft die momentane Änderungsrate der erfassten Anzahl, die als Eingangsrate bezeichnet wird. Dabei ist $x$ die seit 9:00 Uhr vergangene Zeit in Stunden und $g(x)$ die Eingangsrate in der Einheit $\frac{1}{\text{h}}$.

Die Anzahl der Gäste, die an dem betrachteten Tag bis zu einem bestimmten Zeitpunkt das Strandbad verlassen, wird ebenfalls erfasst. Die momentane Änderungsrate dieser Anzahl (Ausgangsrate) wird durch die in $[0;12]$ definierte Funktion $h$ beschrieben. Dabei ist $x$ die seit 9:00 Uhr vergangene Zeit in Stunden und $h(x)$ die Ausgangsrate in der Einheit $\frac{1}{\text{h}}$. In der Abbildung sind die Graphen von $g$ und $h$ dargestellt.

a)

Begründen Sie mithilfe des Funktionsterms von $f_a$, dass $G_a$ die x-Achse nur in den Punkten $A(0|0)$ und $B(a|0)$ schneidet. Zeigen Sie, dass die Steigung von $G_a$ im Punkt $A$ dem 60-fachen Wert von $a$ entspricht und dass die x-Achse die Tangente an $G_a$ im Punkt $B$ ist.

c)

Es gibt einen Wert von $a$, für den der Wendepunkt von $G_a$ auf der Gerade mit der Gleichung $y = x$ liegt. Berechnen Sie diesen Wert von $a$.

f)

Es gibt genau einen Zeitpunkt, zu dem die Eingangsrate ihren größten Wert annimmt. Ermitteln Sie rechnerisch sowohl den Zeitpunkt als auch den Wert.

1/h