Aufgabe WTR 2 - 2 - Differentialrechnung · Abitur NRW Mathematik GK · Teil B · Analysis (WTR) 2026

Speicheröfen geben beim Abkühlen über ihre Oberfläche Wärme an die Umgebung ab. Die Entwicklung der Oberflächentemperatur eines bestimmten Speicherofens bei einem Abkühlvorgang wird modellhaft durch die Funktion $k$ aus der Aufgabe 1f mit $k(x) = 60 \text{e}^{-\frac{1}{400}x} + 20$ beschrieben. Dabei ist $x$ mit $x \ge 0$ die seit Beginn des Abkühlvorgangs vergangene Zeit in Minuten und $k(x)$ die Oberflächentemperatur des Speicherofens in °C. Vereinfachend wird angenommen, dass die Oberflächentemperatur an allen Stellen des Speicherofens gleich groß ist.

Für die erste Ableitungsfunktion $k'$ von $k$ gilt: $k'(x) = -\frac{1}{400} \cdot 60\mathrm{e}^{-\frac{1}{400}x}$

b)

Untersuchen Sie, ob die mittlere Änderungsrate der Oberflächentemperatur innerhalb der ersten 60 Minuten des Abkühlvorgangs um mehr als 10 % von der momentanen Änderungsrate der Oberflächentemperatur 60 Minuten nach Beginn des Abkühlvorgangs abweicht. [4 Punkte]

c)

Der Term $k(x)-20$ gibt die Differenz zwischen der Oberflächentemperatur und der Umgebungstemperatur in °C in Abhängigkeit von der Zeit an. Begründen Sie, dass im verwendeten Modell die folgende Aussage wahr ist: [3 Punkte]

Es gibt eine Konstante $c$, sodass zu jedem Zeitpunkt die Differenz zwischen der Oberflächentemperatur und der Umgebungstemperatur das $c$-Fache der momentanen Änderungsrate der Oberflächentemperatur ist.