Aufgabe 2 - Differentialrechnung · Abitur NRW Mathematik LK · Teil B · Analysis (CAS) 2026

Gegeben ist die Schar der in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $f_a$ mit $$f_a(x) = \frac{3}{4} \cdot (x^2 - a^2) \cdot e^{1 - \frac{x}{a}}$$ und $a \in \mathbb{R}^+$. Der Graph von $f_a$ wird mit $G_a$ bezeichnet.

Gegeben ist außerdem die in $\mathbb{R}^+$ definierte Funktion $h$ mit $h(x) = k \cdot \ln x$ mit einer positiven reellen Zahl $k$. Die Graphen von $f_1$ und $h$ haben im Punkt $(1|0)$ eine gemeinsame Tangente.

b)

Gegeben ist außerdem die in $\mathbb{R}^+$ definierte Funktion $h$ mit $h(x) = k \cdot \ln x$ mit einer positiven reellen Zahl $k$. Die Graphen von $f_1$ und $h$ haben im Punkt $(1|0)$ eine gemeinsame Tangente.

Berechnen Sie $k$ und geben Sie eine Gleichung der gemeinsamen Tangente an.

d)

Für jeden Wert von $a$ besitzt der Graph $G_a$ einen Tiefpunkt $T_a$ und einen Hochpunkt $H_a$. Es gibt einen Wert von $a$, für den die Punkte $T_a$ und $H_a$ gegenüberliegende Eckpunkte eines Quadrats sind, dessen Seiten parallel zu den Koordinatenachsen liegen. Bestimmen Sie diesen Wert von $a$ auf Hundertstel gerundet.