Aufgabe Vorschlag A2 · Abitur Hessen Physik GK 2021

Vorschlag A2: Mechanische Schwingungen und Wellen

Ein Trampolin besteht aus einem Rahmen, in den mit Federn ein Sprungtuch eingehängt ist. Vereinfachend wird angenommen, dass die Bewegung des Sprungtuchs als eine harmonische Schwingung einer senkrecht stehenden Feder mit einer Federkonstanten $D = 2900\,\frac{\text{N}}{\text{m}}$ betrachtet werden kann. Eine Person der Masse $m = 50\,\text{kg}$ setzt sich auf das Sprungtuch, sodass es um die Strecke $s_0$ nach unten ausgelenkt wird. Vereinfachend wird die Person als Massepunkt betrachtet. Die Masse des Sprungtuchs soll vernachlässigt werden.

1 Zur Untersuchung von Federschwingungen wird an eine unbelastete, vertikal hängende Schraubenfeder mit der Federkonstanten $D = 200\,\mathrm{\frac{N}{m}}$ eine Gesamtmasse $m = 1{,}60\,\mathrm{kg}$ angehängt. Die Gesamtmasse setzt sich aus zwei Massestücken mit den Massen $400\,\mathrm{g}$ und $1200\,\mathrm{g}$ zusammen. Die Gesamtmasse wird an die entspannte Feder angehängt und zum Zeitpunkt $t = 0\,\mathrm{s}$ losgelassen, sodass sie vom oberen Umkehrpunkt der Schwingung startend nach unten harmonisch schwingt.

1.1

Geben Sie die Größen an, von denen die Rückstellkraft der hier vorliegenden harmonischen Schwingung abhängt, sowie die jeweilige funktionale Form der Abhängigkeit.

Beschreiben Sie, was der Wert der Federkonstanten $D = 200\,\mathrm{\frac{N}{m}}$ konkret bedeutet. [3 BE]

1.2

Bestätigen Sie ausgehend von einem geeigneten Ansatz, dass die Amplitude $s_0 = 7{,}85\,\mathrm{cm}$ beträgt. [4 BE]

1.3

In Material 1 sind drei $t$-$s$-Diagramme einer Schwingung gegeben. Entscheiden Sie begründet, welches der Diagramme (1) – (3) die Bewegung der Masse um die Ruhelage richtig wiedergibt. [4 BE]

Diagramm

1.4

Bei der Federschwingung fällt nach Durchlaufen einer Schwingungsperiode im oberen Umkehrpunkt das $400\,\mathrm{g}$-Massestück ab.

Untersuchen Sie quantitativ, wie sich dies auf die Schwingungsdauer und die Gleichgewichtslage auswirkt. [4 BE]

2 Ein Trampolin besteht aus einem Rahmen, in den mit Federn ein Sprungtuch eingehängt ist. Vereinfachend wird angenommen, dass die Bewegung des Sprungtuchs als eine harmonische Schwingung einer senkrecht stehenden Feder mit einer Federkonstanten $D = 2900\,\mathrm{\frac{N}{m}}$ betrachtet werden kann. Eine Person der Masse $m = 50\,\mathrm{kg}$ setzt sich auf das Sprungtuch, sodass es um die Strecke $s_0$ nach unten ausgelenkt wird. Vereinfachend wird die Person als Massepunkt betrachtet. Die Masse des Sprungtuchs soll vernachlässigt werden.

2.1

Die Person führt auf dem Sprungtuch Schwingungen um die Ruhelage $s_0$ mit einer Amplitude von $10\,\mathrm{cm}$ so aus, dass sie zu jedem Zeitpunkt mit dem Sprungtuch in Kontakt ist. Zum Zeitpunkt $t = 0\,\mathrm{s}$ schwingt sie durch die Ruhelage $s_0$ nach oben.

Berechnen Sie jeweils den nächsten Zeitpunkt, bei dem die Person den maximalen Geschwindigkeitsbetrag $v_{\max}$ bzw. den maximalen Beschleunigungsbetrag $a_{\max}$ erreicht. Berechnen Sie die beiden Beträge $v_{\max}$ und $a_{\max}$. [6 BE]

2.2

Die Amplitude der Schwingung wird erhöht, bis die maximale Beschleunigung größer als der Ortsfaktor $g$ ist und die Person vom Sprungtuch abhebt.

Zeigen Sie, dass dann für die Amplitude $s_{\max}$ gilt: $s_{\max} > \frac{g\cdot T^2}{4\pi^2}$

Berechnen Sie, wie groß $s_{\max}$ mindestens sein muss, damit die Person vom Sprungtuch abhebt. [4 BE]

2.3

Die Person wird aus der Ruhelage $s_0$ um $s_{\max} = 45\,\mathrm{cm}$ nach unten ausgelenkt und losgelassen.

Erklären Sie die Gleichung (1) und die Umformungsschritte zu den Gleichungen (2) und (3) im Sachzusammenhang. Deuten Sie die Größe $x$ und berechnen Sie den Wert von $x$. [8 BE]

(1) $\frac{1}{2}\cdot D\cdot (s_0 + s_{\max})^2 = m\cdot g\cdot h$

(2) $\frac{1}{2}\cdot D\cdot \left(\frac{m\cdot g}{D} + s_{\max}\right)^2 = m\cdot g\cdot h$

(3) $h = \frac{D\cdot \left(\frac{m\cdot g}{D} + s_{\max}\right)^2}{2\cdot m\cdot g}$

(4) $x = h - (s_0 + s_{\max})$