Aufgabe Vorschlag A1 - Aufgabe 3 · Abitur Hessen Physik GK 2022

Thema: Mechanische und elektromagnetische Schwingungen · Aus der Prüfung GK (2022)

Aufgabenstellung

3

Bei einem Federbrett, das z. B. bei Kindern für das Training der Körperkoordination verwendet wird, sind zwischen zwei Holzbrettern vier gleichartige Schraubenfedern montiert (Material 3). Belastet man das Federbrett gleichmäßig mit einer Masse von 70 kg70\,\text{kg}, so verringert sich der Abstand zwischen den Holzbrettern um 5 cm5\,\text{cm}. Der Einfluss der Masse der Bretter und der Schraubenfedern soll im Folgenden vernachlässigt werden, die Reibung zunächst noch nicht.

Für die Fallbeschleunigung soll der Wert g=9,81 ms2g = 9{,}81\,\frac{\text{m}}{\text{s}^2} verwendet werden.

3.1

Bestimmen Sie die Federkonstante einer einzelnen Schraubenfeder und erläutern Sie den Lösungsweg. [zur Kontrolle: Deine Feder=3434 NmD_{\text{eine Feder}} = 3434\,\frac{\text{N}}{\text{m}}] [6 BE]

3.2

Das Federbrett, das mit einer Masse von 70 kg70\,\text{kg} gleichmäßig belastet ist, wird nun um weitere 2 cm2\,\text{cm} zusammengedrückt und zum Zeitpunkt t=0 st = 0\,\text{s} losgelassen.

Beschreiben Sie die resultierende Bewegung. [2 BE]

3.3

Im Folgenden soll die Reibung vernachlässigt werden. Berechnen Sie die Schwingungsdauer des mit einer Masse von 70 kg70\,\text{kg} belasteten Federbretts. Entscheiden Sie, ob zur Beschreibung der Bewegung aus Aufgabe 3.2 die Schwingungsgleichung in der Form s(t)=s0⋅sin⁡(ω⋅t)s(t) = s_0\cdot \sin(\omega\cdot t) oder s(t)=−s0⋅cos⁡(ω⋅t)s(t) = -s_0\cdot \cos(\omega\cdot t) mit s0>0s_0 > 0 verwendet werden muss, und geben Sie die Gleichung mit den konkreten Werten für diesen Fall an. Skizzieren Sie das tt-ss-Diagramm der Schwingung für 0 s≤t≤1 s0\,\text{s} \le t \le 1\,\text{s}. [8 BE]

s(t)=−s0⋅cos⁡(ω⋅t)s(t) = -s_0\cdot \cos(\omega\cdot t)

s(t)=s0⋅sin⁡(ω⋅t)s(t) = s_0\cdot \sin(\omega\cdot t)

3.4

Untersuchen Sie den funktionalen Zusammenhang zwischen der auf das Federbrett aufgelegten Masse und der Schwingungsdauer. [2 BE]

3.5

Eine als punktförmig angenommene Masse von 35 kg35\,\text{kg} wird aus einer Höhe von h=20 cmh = 20\,\text{cm} über dem oberen Holzbrett so auf das unbelastete Federbrett fallen gelassen, dass sie das Federbrett in der Mitte trifft und dort sofort liegen bleibt. Die Masse versetzt das Brett in Schwingung. Hierbei mögliche Energieverluste sollen vernachlässigt werden. Bestimmen Sie die Amplitude der Schwingung und erläutern Sie Ihren Lösungsweg. [6 BE]

Aufgabenstellung: Aufgabe Vorschlag A1 - Aufgabe 3 · Abitur Hessen Physik GK 2022

Lösung

Nach den offiziellen Korrekturhinweisen

3.1 Bestimmen Sie die Federkonstante einer einzelnen Schraubenfeder

Lösung: 3434 Nm3434\,\frac{\text{N}}{\text{m}}

3.1 Erläutern Sie den Lösungsweg

Lösung: Die Federkonstanten der einzelnen Federn addieren sich zur Federkonstante des gesamten Bretts. Aufgrund der Gleichartigkeit der vier Federn lässt sich die Federkonstante einer einzelnen Feder berechnen, indem die Federkonstante des gesamten Bretts bestimmt wird und dieser Wert dann durch die Zahl 4 dividiert wird.

3.2 Beschreiben Sie die resultierende Bewegung

Lösung: Das Brett führt eine harmonische Schwingung um die Ruhelage aus. Aufgrund der Reibung ist die Schwingung gedämpft, die Amplitude wird im zeitlichen Verlauf immer kleiner.

3.3 Berechnen Sie die Schwingungsdauer des mit einer Masse von 70 kg belasteten Federbretts

Lösung: 0,45 s0{,}45\,\text{s}

3.3 Entscheiden Sie, ob zur Beschreibung der Bewegung aus Aufgabe 3.2 die Schwingungsgleichung in der Form s(t) = s₀ · sin(ω · t) oder s(t) = -s₀ · cos(ω · t) mit s₀ > 0 verwendet werden muss

Lösung: s(t)=−s0⋅cos⁡(ω⋅t)s(t) = -s_0\cdot \cos(\omega\cdot t)

3.3 Geben Sie die Gleichung mit den konkreten Werten für diesen Fall an

Lösung: s(t)=−2 cm⋅cos⁡(2π0,45 s⋅t)s(t) = -2\,\text{cm}\cdot \cos\left(\frac{2\pi}{0{,}45\,\text{s}}\cdot t\right) / s(t)=−0,02 m⋅cos⁡(14⋅t)s(t) = -0{,}02\,\text{m}\cdot \cos(14\cdot t)

3.3 Skizzieren Sie das t-s-Diagramm der Schwingung für 0 s ≤ t ≤ 1 s

Lösung: Skizze einer ungedämpften negativen Kosinusschwingung mit Amplitude s0=2 cms_0 = 2\,\text{cm} und Schwingungsdauer T=0,45 sT = 0{,}45\,\text{s} über das Zeitintervall von 0 s0\,\text{s} bis 1 s1\,\text{s}.

3.4 Untersuchen Sie den funktionalen Zusammenhang zwischen der auf das Federbrett aufgelegten Masse und der Schwingungsdauer

Lösung: Zur Beschreibung gilt die Formel T=2⋅π⋅mDT = 2\cdot \pi\cdot \sqrt{\frac{m}{D}}, in dieser ist die Masse im Zähler enthalten. Die Schwingungsdauer steigt also proportional zur Wurzel der Masse.

3.5 Bestimmen Sie die Amplitude der Schwingung

Lösung: 0,103 m0{,}103\,\text{m} / 10,3 cm10{,}3\,\text{cm}

3.5 Erläutern Sie Ihren Lösungsweg

Lösung: Durch die Belastung mit einer Masse von 35 kg wird das Federbrett im statischen Gleichgewicht um 2,5 cm zusammengedrückt; dies ist die neue Ruhelage der Schwingung. Über den Energieerhaltungssatz (potentielle Energie der Masse bezogen auf den tiefsten Umkehrpunkt wandelt sich vollständig in Spannenergie der Federn um) wird die maximale Gesamteindrückung s₁ berechnet. Die Schwingungsamplitude entspricht der Differenz zwischen maximaler Stauchung und der Ruhelage.

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