Abitur Hessen Mathematik 2023 · LK · Teil A · Lineare Algebra

Gegeben ist das Gleichungssystem

$$\begin{array}{lrcrcrc} \text{I} & 2x & & & + & z & = 0 \\ \text{II} & & - & y & + & 2z & = 0 \\ \text{III} & & & 2y & + & bz & = 1 \end{array}$$ mit $x, y, z \in \mathbb{R}$.

1 Aufgabe

Gegeben ist das Gleichungssystem

$\begin{aligned}

\text{I}&: & 2x \phantom{+ y} + z &= 0 \\

\text{II}&: & -y + 2z &= 0 \\

\text{III}&: & 2y + bz &= 1

\end{aligned}$

mit $x, y, z \in \mathbb{R}$. Untersuchen Sie in Abhängigkeit von $b$ mit $b \in \mathbb{R}$ die Anzahl der Lösungen des Gleichungssystems; geben Sie gegebenenfalls die Lösungen an.

Gegeben ist das Gleichungssystem

$$\begin{array}{lrcrcrc} \text{I} & 2x & & & + & z & = 0 \\ \text{II} & & - & y & + & 2z & = 0 \\ \text{III} & & & 2y & + & bz & = 1 \end{array}$$ mit $x, y, z \in \mathbb{R}$.

a)

Geben Sie – bezogen auf die erzielte Augenzahl – eine mögliche Spielregel für eine Spielfigur an, die auf dem Feld B steht.

b)

Der Verlauf des Spiels kann von einer Runde $n$ zur nächsten modellhaft mithilfe einer Matrix $M$ und der Gleichung $\vec{v}_{n+1} = M \cdot \vec{v}_n$ beschrieben werden. Die in der Gleichung auftretenden Vektoren haben die Form $\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}$. Dabei sind $a$, $b$ und $c$ die Anteile der Spielfiguren, die sich auf den Feldern A, B bzw. C befinden.

Geben Sie die zweite Zeile von $M$ an.

(

)

c)

Zu $M$ gehört die Grenzmatrix $\begin{pmatrix} 0{,}24 & 0{,}24 & 0{,}24 \\ 0{,}36 & 0{,}36 & 0{,}36 \\ 0{,}4 & 0{,}4 & 0{,}4 \end{pmatrix}$. Beschreiben Sie die Bedeutung der drei verschiedenen Einträge der Grenzmatrix im Sachzusammenhang.

Zusammensetzungen einer Population Marienkäfer können durch Vektoren der Form $\begin{pmatrix} E \\ L \\ K \end{pmatrix}$ dargestellt werden, wobei $E$ die Anzahl der Eier, $L$ die Anzahl der Larven und $K$ die Anzahl der fertig entwickelten Käfer bezeichnet. Mithilfe der Gleichung $$\vec{v}_{n-1} = M^{-1} \cdot \vec{v}_n \quad \text{mit} \quad M^{-1} = \begin{pmatrix} 0 & \frac{1}{b} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{c} \\ \frac{1}{a} & 0 & 0 \end{pmatrix}$$ kann aus der Zusammensetzung in einem Monat $n$ die Zusammensetzung im vorhergehenden Monat ermittelt werden.

a)

Es gilt $$(M^{-1})^2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & \frac{3}{c} \\ \frac{1}{60c} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{20} & 0 \end{pmatrix}$$ Bestimmen Sie den Wert von $a$. [2 BE]

b)

Es gilt $$(M^{-1})^3 = \begin{pmatrix} \frac{1}{20c} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{20c} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{20c} \end{pmatrix}$$ Beschreiben Sie in Abhängigkeit von $c$ mit $c > 0$, was sich daraus hinsichtlich der Entwicklung der Population mit fortschreitender Zeit schließen lässt. Gehen Sie dabei auch auf die Größe der Population ein. [3 BE]