Abitur Hessen Mathematik 2023 · GK · Teil B · Analysis (CAS)

Gegeben sind die in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $p: x \mapsto -x^2 - x + 1$ und $q: x \mapsto \mathrm{e}^{-x}$. Die Graphen von $p$ und $q$ haben genau einen gemeinsamen Punkt; dieser Punkt liegt auf der $y$-Achse. Für die erste Ableitungsfunktion von $q$ gilt $q'(x) = -q(x)$.

a)

Beschreiben Sie, wie der Graph von $q'$ aus dem Graphen von $q$ erzeugt werden kann. Geben Sie die Wertemenge von $q'$ an.

Gegeben sind die in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $p: x \mapsto -x^2 - x + 1$ und $q: x \mapsto \mathrm{e}^{-x}$. Die Graphen von $p$ und $q$ haben genau einen gemeinsamen Punkt; dieser Punkt liegt auf der $y$-Achse. Für die erste Ableitungsfunktion von $q$ gilt $q'(x) = -q(x)$.

b)

Berechnen Sie die Größe des Winkels, in dem der Graph von $q$ die Gerade mit der Gleichung $y = 4$ schneidet.

c)

Zeigen Sie, dass die Graphen von $p$ und $q$ in ihrem gemeinsamen Punkt eine gemeinsame Tangente haben, und geben Sie eine Gleichung dieser Tangente an.

Gegeben sind die in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $p: x \mapsto -x^2 - x + 1$ und $q: x \mapsto \mathrm{e}^{-x}$. Die Graphen von $p$ und $q$ haben genau einen gemeinsamen Punkt; dieser Punkt liegt auf der $y$-Achse. Für die erste Ableitungsfunktion von $q$ gilt $q'(x) = -q(x)$.

d)

Geben Sie die geometrische Bedeutung der Gleichung $\int_0^b (q(x) - p(x))\,\mathrm{dx} = 4$ an und bestimmen Sie den Wert von $b$.

Gegeben sind die in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $p: x \mapsto -x^2 - x + 1$ und $q: x \mapsto \mathrm{e}^{-x}$. Die Graphen von $p$ und $q$ haben genau einen gemeinsamen Punkt; dieser Punkt liegt auf der $y$-Achse. Für die erste Ableitungsfunktion von $q$ gilt $q'(x) = -q(x)$.

2 Für jeden Wert von $a \in \mathbb{R}$ ist eine in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $h_a: x \mapsto (x^2 - x - a) \cdot \mathrm{e}^{-x}$ gegeben.

a

Berechnen Sie den Abstand der beiden Extrempunkte des Graphen von $h_1$. [4 BE]

b

Für jeden Wert von $a$ mit $a > -\frac{5}{4}$ hat der Graph von $h_a$ zwei Extrempunkte. Bestimmen Sie die $x$-Koordinaten dieser beiden Extrempunkte in Abhängigkeit von $a$. [5 BE]

Begründen Sie, dass es zu jeder Stelle $x > \frac{3}{2}$ einen Wert von $a$ gibt, für den der Graph von $h_a$ im Punkt $(x \mid h_a(x))$ einen Hochpunkt hat.

Aufgabe 3

Ein Bewässerungskanal wird durch Öffnen einer Schleuse in Betrieb genommen.

Die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $w: x \mapsto 4 \cdot (x^2 - x - 1) \cdot \mathrm{e}^{-x} + 4$ beschreibt für $x \ge 0$ die zeitliche Entwicklung der momentanen Durchflussrate des Wassers an einer Messstelle. Dabei ist $x$ die seit Beobachtungsbeginn vergangene Zeit in Sekunden und $w(x)$ die momentane Durchflussrate in Kubikmetern pro Sekunde.

Die Abbildung zeigt den Graphen von $w$.

a

Geben Sie den Wert des Terms $\lim_{x \to +\infty} w(x)$ sowie die Bedeutung dieses Werts im Sachzusammenhang an.

Aufgabe 3

Ein Bewässerungskanal wird durch Öffnen einer Schleuse in Betrieb genommen.

Die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $w: x \mapsto 4 \cdot (x^2 - x - 1) \cdot \mathrm{e}^{-x} + 4$ beschreibt für $x \ge 0$ die zeitliche Entwicklung der momentanen Durchflussrate des Wassers an einer Messstelle. Dabei ist $x$ die seit Beobachtungsbeginn vergangene Zeit in Sekunden und $w(x)$ die momentane Durchflussrate in Kubikmetern pro Sekunde.

Die Abbildung zeigt den Graphen von $w$.

b

Bestimmen Sie die momentane Durchflussrate für denjenigen Zeitpunkt, zu dem sie am stärksten abnimmt.

d

Die Tangente an den Graphen von $w$ im Punkt $(1 \mid w(1))$ wird durch die Gleichung $y = t(x)$ dargestellt. Interpretieren Sie die folgende Aussage im Sachzusammenhang: Für alle Werte von $x \in [0{,}7; 1{,}4]$ gilt $\left|\frac{t(x)-w(x)}{w(x)}\right| < 0{,}05$.

Aufgabe 3

Ein Bewässerungskanal wird durch Öffnen einer Schleuse in Betrieb genommen.

Die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $w: x \mapsto 4 \cdot (x^2 - x - 1) \cdot \mathrm{e}^{-x} + 4$ beschreibt für $x \ge 0$ die zeitliche Entwicklung der momentanen Durchflussrate des Wassers an einer Messstelle. Dabei ist $x$ die seit Beobachtungsbeginn vergangene Zeit in Sekunden und $w(x)$ die momentane Durchflussrate in Kubikmetern pro Sekunde.

Die Abbildung zeigt den Graphen von $w$.

c

Betrachtet wird der Zeitraum der ersten zehn Sekunden nach Beobachtungsbeginn. Beschreiben Sie unter Verwendung geeigneter Flächen die graphische Bedeutung der folgenden Aussage: Für den betrachteten Zeitraum beträgt die mittlere Durchflussrate etwa $4\ \frac{\text{m}^3}{\text{s}}$.

e

An der Messstelle fließen in einem Zeitraum von drei Sekunden dreizehn Kubikmeter Wasser vorbei. Berechnen Sie die dafür infrage kommenden Zeiträume.

1. Zeitraum: von ca. s bis ca. s

2. Zeitraum: von ca. s bis ca. s

2

Die Abbildung 2 zeigt den vollständigen Längsschnitt einer zweiten Wasserrutschbahn. Ihr Verlauf kann mithilfe der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $h$ mit $$h(x) = \frac{3}{5} \cdot \cos(x) - \frac{3}{5} \cdot x + 12$$ beschrieben werden. Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht einem Meter in der Wirklichkeit. Die $x$-Achse beschreibt die Wasseroberfläche. Die Rutschbahn endet 50 Zentimeter oberhalb der Wasseroberfläche.

1 Die Abbildung 1 zeigt einen Teil des Längsschnitts einer Wasserrutschbahn, die aus einem Startbogen, einem Mittelabschnitt und einem Auslaufbogen zusammengesetzt ist. Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht einem Meter in der Wirklichkeit. Die x-Achse beschreibt die Horizontale.

Die Rutschbahn weist in ihrem Längsschnitt weder eine Sprungstelle noch einen Knick auf. Der Auslaufbogen geht in seinem Endpunkt, der im Modell durch den Punkt $C$ dargestellt wird, ohne Knick in die Horizontale über.

a)

Bestimmen Sie rechnerisch eine Gleichung der Gerade, mithilfe derer der Mittelabschnitt beschrieben werden kann, sowie die Größe des Neigungswinkels dieses Abschnitts der Rutschbahn gegenüber der Horizontalen.

b)

Eine Person benötigt 1,4 Sekunden, um den Mittelabschnitt zu durchrutschen. Bestimmen Sie die Durchschnittsgeschwindigkeit der Person in diesem Abschnitt der Rutschbahn.

c)

Der Auslaufbogen lässt sich mithilfe einer quadratischen Funktion $f$ beschreiben. Bestimmen Sie eine Gleichung von $f$.

(zur Kontrolle: $f(x) = \frac{3}{32}x^2 - \frac{15}{4}x + \frac{75}{2}$)

d)

Stellen Sie den Auslaufbogen in der Abbildung 1 graphisch dar.

e)

Der Startbogen kann im Modell mithilfe eines Kreises beschrieben werden. Er wird durch mehrere Streben gleicher Länge gestützt; diese gehen alle vom selben Punkt aus, der im Modell auf der y-Achse liegt. Eine der Streben stößt direkt am Übergang zwischen Startbogen und Mittelabschnitt senkrecht auf die Rutschbahn. Ermitteln Sie rechnerisch die Länge des Startbogens.

Die Rutschbahn soll verändert werden, unter anderem die Neigung des geradlinigen Mittelabschnitts. In der Planung dieser Veränderung wird der Punkt $A$ beibehalten, der Punkt $B$ soll um einen Wert $d$ mit $d \in ]0; 8[$ in negative x-Richtung verschoben werden; die y-Koordinate von $B$ wird beibehalten.

f)

Zeigen Sie, dass die Neigung des neuen Mittelabschnitts gegenüber der Horizontalen durch den Term $-\frac{12}{8-d}$ beschrieben wird. Bestimmen Sie denjenigen Wert von $d$, für den die Neigung halb so groß ist, wie wenn $B$ doppelt so weit in negative x-Richtung verschoben wird.

g)

Für $d = 2$ werden zur Gestaltung des Auslaufbogens die beiden folgenden Möglichkeiten I und II betrachtet:

I Der Graph, der den bisherigen Auslaufbogen darstellt, wird um 2 in negative x-Richtung verschoben und ansonsten nicht verändert.

II Der Auslaufbogen wird durch zwei quadratische Funktionen $p$ und $q$ beschrieben:

$$p(x) = \frac{3}{16} \cdot (x-10)^2 - 2 \cdot (x-10) + 6 \quad \text{für } 10 \le x \le 14$$

$$q(x) = \frac{1}{16} \cdot (x-18)^2 \quad \text{für } 14 \le x \le 18$$

Untersuchen Sie jede der beiden Möglichkeiten im Hinblick darauf, ob die Rutschbahn zwischen dem Beginn des Mittelabschnitts und dem Ende des Auslaufbogens eine Sprungstelle oder einen Knick aufweist.

2

Die Abbildung 2 zeigt den vollständigen Längsschnitt einer zweiten Wasserrutschbahn. Ihr Verlauf kann mithilfe der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $h$ mit $$h(x) = \frac{3}{5} \cdot \cos(x) - \frac{3}{5} \cdot x + 12$$ beschrieben werden. Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht einem Meter in der Wirklichkeit. Die $x$-Achse beschreibt die Wasseroberfläche. Die Rutschbahn endet 50 Zentimeter oberhalb der Wasseroberfläche.

a

Zeigen Sie, dass der Startpunkt der Rutschbahn 12,6 Meter oberhalb der Wasseroberfläche liegt, und ermitteln Sie die horizontale Ausdehnung der Rutschbahn.

2

Die Abbildung 2 zeigt den vollständigen Längsschnitt einer zweiten Wasserrutschbahn. Ihr Verlauf kann mithilfe der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $h$ mit $$h(x) = \frac{3}{5} \cdot \cos(x) - \frac{3}{5} \cdot x + 12$$ beschrieben werden. Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht einem Meter in der Wirklichkeit. Die $x$-Achse beschreibt die Wasseroberfläche. Die Rutschbahn endet 50 Zentimeter oberhalb der Wasseroberfläche.

b

Die Rutschbahn weist in mehreren Punkten ihre größte Neigung gegenüber der Horizontalen auf. Berechnen Sie diese Neigung in Prozent.

%

c

Der Graph von $h$ enthält Punkte, in denen die Tangente an den Graphen parallel zur x-Achse verläuft. Weisen Sie nach, dass diese Punkte alle den gleichen Abstand haben.