Abitur Hessen Mathematik 2018 · LK · Teil B · Analytische Geometrie (CAS)

Das Gebäude eines Museums kann modellhaft durch den abgebildeten Körper ABCDEFG dargestellt werden. Die obere Etage des Museums entspricht dabei der Pyramide DEFG, die untere Etage dem Körper ABCDEF, der Teil der Pyramide DEFS ist. Die Ebene, in der das Dreieck ABC liegt, beschreibt die Horizontale. Das Dreieck DEF liegt parallel zu dieser Ebene.

In einem kartesischen Koordinatensystem gilt für die Lage einiger der genannten Punkte: $A(-5|5|0)$, $B(-5|25|0)$, $D(0|0|15)$, $E(0|30|15)$, $F(-25|5|15)$ und $G(-10|10|35)$. Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht 1 m in der Realität.

a)

Die folgenden Rechnungen zeigen ein mögliches Vorgehen zur Ermittlung der Koordinaten von S:

$$\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 15 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} -5 \\ 5 \\ -15 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 30 \\ 15 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -5 \\ -5 \\ -15 \end{pmatrix} \iff r = s = 3$$

$$\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 15 \end{pmatrix} + 3 \cdot \begin{pmatrix} -5 \\ 5 \\ -15 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -15 \\ 15 \\ -30 \end{pmatrix}, \text{ d. h. } S(-15 \mid 15 \mid -30)$$

Erläutern Sie das dargestellte Vorgehen.

e)

Weisen Sie nach, dass sich die Gerade AG und die Ebene, in der das Dreieck DEF liegt, im Punkt $R\left(-\frac{50}{7} \mid \frac{50}{7} \mid 15\right)$ schneiden.

Das Gebäude eines Museums kann modellhaft durch den abgebildeten Körper ABCDEFG dargestellt werden. Die obere Etage des Museums entspricht dabei der Pyramide DEFG, die untere Etage dem Körper ABCDEF, der Teil der Pyramide DEFS ist. Die Ebene, in der das Dreieck ABC liegt, beschreibt die Horizontale. Das Dreieck DEF liegt parallel zu dieser Ebene.

In einem kartesischen Koordinatensystem gilt für die Lage einiger der genannten Punkte: $A(-5|5|0)$, $B(-5|25|0)$, $D(0|0|15)$, $E(0|30|15)$, $F(-25|5|15)$ und $G(-10|10|35)$. Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht 1 m in der Realität.

b)

Weisen Sie nach, dass die Bodenfläche der oberen Etage nicht rechtwinklig ist.

c)

Berechnen Sie für das Dreieck DEF die Größe des Innenwinkels bei E sowie die Länge der Höhe zur Seite $\overline{EF}$.

°

d)

Für die obere Etage wird eine Anlage zur Entfeuchtung der Luft installiert, die für $100\,\mathrm{m}^3$ Rauminhalt eine elektrische Leistung von 0,8 Kilowatt benötigt. Weisen Sie nach, dass für den Betrieb der Anlage eine Leistung von 25 Kilowatt ausreichend ist.

f)

An einer Metallstange, die durch die Strecke $\overline{RG}$ dargestellt wird, ist ein Scheinwerfer befestigt, dessen Größe vernachlässigt werden soll. Der Scheinwerfer beleuchtet aus einer Entfernung von 5 m diejenige Wand, die im Modell durch das Dreieck EFG dargestellt wird. Berechnen Sie die Koordinaten des Punkts, der die Position des Scheinwerfers im Modell beschreibt.

P( | |)

Die Abbildung zeigt – nicht maßstabsgetreu – ein Modell eines Obelisken. Im verwendeten kartesischen Koordinatensystem beschreibt die xy-Ebene den ebenen Untergrund, auf dem der Obelisk steht; eine Längeneinheit entspricht einem Meter in der Wirklichkeit.

Der untere Teilkörper $ABCDEFGH$ mit $B(0{,}45 \mid 0{,}45 \mid 0)$ ist ein Stumpf einer geraden Pyramide. Der Mittelpunkt des Quadrats $ABCD$ ist der Koordinatenursprung. Das Quadrat $EFGH$ ist parallel zur xy-Ebene.

Der obere Teilkörper $EFGHS$ mit $E(0{,}35 \mid -0{,}35 \mid 7{,}16)$ ist eine gerade Pyramide. Der Punkt $S$ liegt auf der z-Achse und stellt die Spitze des Obelisken dar.

a

Ermitteln Sie die Koordinaten des Schnittpunkts der Gerade $AE$ mit der $z$-Achse.

(zur Kontrolle: $z$-Koordinate des Schnittpunkts: $32{,}22$)

$S_z\,($

$\mid$

$\mid$

$)$

Die Abbildung zeigt – nicht maßstabsgetreu – ein Modell eines Obelisken. Im verwendeten kartesischen Koordinatensystem beschreibt die xy-Ebene den ebenen Untergrund, auf dem der Obelisk steht; eine Längeneinheit entspricht einem Meter in der Wirklichkeit.

Der untere Teilkörper $ABCDEFGH$ mit $B(0{,}45 \mid 0{,}45 \mid 0)$ ist ein Stumpf einer geraden Pyramide. Der Mittelpunkt des Quadrats $ABCD$ ist der Koordinatenursprung. Das Quadrat $EFGH$ ist parallel zur xy-Ebene.

Der obere Teilkörper $EFGHS$ mit $E(0{,}35 \mid -0{,}35 \mid 7{,}16)$ ist eine gerade Pyramide. Der Punkt $S$ liegt auf der z-Achse und stellt die Spitze des Obelisken dar.

b)

Berechnen Sie die Größe der Neigungswinkel der Seitenkanten des unteren Teilkörpers gegenüber dem Untergrund.

[2 BE]

c)

Bestimmen Sie den Flächeninhalt einer der Seitenflächen des unteren Teilkörpers.

[4 BE]

d)

Der untere Teilkörper des Obelisken besteht aus Granit. Ein Kubikmeter des verwendeten Materials hat eine Masse von $2{,}6$ Tonnen. Bestimmen Sie die Masse des unteren Teilkörpers.

[5 BE]

e)

Entscheiden Sie für jede der folgenden Gleichungen I bis IV, ob sie eine Symmetrieebene des Obelisken beschreibt. Begründen Sie für eine der Gleichungen, dass Sie keine solche Ebene darstellt.

[4 BE]

Gleichung

Symmetrieebene?

I: $x = 0{,}45$

II: $y = 0$

III: $x - y = 0$

IV: $x - z = 0$

Auf den Obelisken treffendes Sonnenlicht kann im Modell durch parallele Geraden mit dem Richtungsvektor $$\vec{v} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}$$ dargestellt werden.

f)

Begründen Sie, dass der Schatten der Spitze des Obelisken nur dann auf dem Untergrund liegt, wenn der obere Teilkörper des Obelisken ausreichend hoch ist.

[2 BE]

g)

Der Abstand des auf dem Untergrund liegenden Schattens der Spitze des Obelisken von dem Punkt, der im Modell durch $B$ dargestellt wird, beträgt $5{,}1$ Meter. Ermitteln Sie die Höhe des Obelisken.

[5 BE]