Abitur Hessen Mathematik 2018 · LK · Teil A · Lineare Algebra

In einem System verteilt sich der Gesamtbestand auf die Zustände A und B. Zum Zeitpunkt $n$ mit $n \in \mathbb{N}$ wird die Verteilung auf die Zustände A und B durch den Vektor $\vec{v_n} = \begin{pmatrix} a_n \\ b_n \end{pmatrix}$ beschrieben. Dabei gibt $a_n$ denjenigen Anteil des Gesamtbestands an, der sich im Zustand A befindet, und $b_n$ denjenigen Anteil des Gesamtbestands, der sich im Zustand B befindet. Die Tabelle beschreibt die Übergänge zwischen den Zuständen von einem Zeitpunkt zum nächsten:

Mithilfe der zugehörigen Übergangsmatrix $M$ kann die Entwicklung der Zustandsverteilung durch $\vec{v}_{n+1} = M \cdot \vec{v}_n$ beschrieben werden.

a)

Erstellen Sie das zugehörige Übergangsdiagramm.

b)

Für $\vec{v}_0 = \begin{pmatrix} a_0 \\ b_0 \end{pmatrix}$ gilt $0 < a_0 < 1$ und $0 < b_0 < 1$. Begründen Sie, dass mit zunehmendem Wert von $n$ eine Koordinate des Vektors $\vec{v}_n$ kleiner wird, während die andere größer wird.

c)

Geben Sie eine Zustandsverteilung $\vec{v}$ an, für die $M \cdot \vec{v} = \vec{v}$ gilt.

$\vec{v} = ($$

$)$

In einem System verteilt sich der Gesamtbestand auf die Zustände A und B. Zum Zeitpunkt $n$ mit $n \in \mathbb{N}$ wird die Verteilung auf die Zustände A und B durch den Verteilungsvektor $\vec{v_n} = \begin{pmatrix} a_n \\ b_n \end{pmatrix}$ beschrieben. Dabei gibt $a_n$ denjenigen Anteil des Gesamtbestands an, der sich im Zustand A befindet, und $b_n$ denjenigen Anteil des Gesamtbestands, der sich im Zustand B befindet. Die Abbildung beschreibt die Übergänge zwischen den Zuständen von einem Zeitpunkt zum nächsten.

Mithilfe der zugehörigen Übergangsmatrix $M$ kann die Entwicklung der Zustandsverteilung durch $\vec{v_{n+1}} = M \cdot \vec{v_n}$ beschrieben werden.

a)

Berechnen Sie $M^2$.

$m_{11} =$

$m_{12} =$

$m_{21} =$

$m_{22} =$

b)

Beschreiben Sie, wie man zu jedem Verteilungsvektor $\vec{v_{n+2}}$ den Verteilungsvektor $\vec{v_n}$ bestimmen kann.

In einem zweidimensionalen Koordinatensystem ordnet jede 2x2-Matrix $M$ einem Punkt $P(a \mid b)$ mit $a, b \in \mathbb{R}$ durch $$M \cdot \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a' \\ b' \end{pmatrix}$$ einen Bildpunkt $P'(a' \mid b')$ zu.

a)

Bestimmen Sie für $M = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ die Koordinaten von $P'$ in Abhängigkeit von $a$ und $b$.

Begründen Sie, dass die durch diese Matrix beschriebene Zuordnung eine Spiegelung an der y-Achse darstellt.

$a' =$ $b' =$

b)

Durch Spiegelung von $P$ an der x-Achse entsteht der Punkt $P^*(a^* \mid b^*)$. Bestimmen Sie $M$ so, dass $P^*$ der Mittelpunkt der Strecke zwischen dem Koordinatenursprung und $P'$ ist.