Aufgabe C2.1 - 4 · Abitur Hessen Mathematik LK · WTR 2021

Thema: Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen · Aus der Prüfung LK · WTR (2021)

Aufgabenstellung

Bei einer genaueren Untersuchung der Resultate einer Drillsaatmaschine, welche die Körner ungenauer und im Mittel näher beieinander ablegt, hat man die im Material dargestellten Beobachtungen zu den Abständen benachbarter Körner gemacht. Es wird die Zufallsvariable ZZ: „Abstand zwischen zwei benachbarten Körnern innerhalb einer Reihe“ betrachtet.

Material

Häufigkeitsverteilung von Kornabständen bei Drillsaat (n=200n = 200)

Abstand (in cm) im Intervall · Absolute Häufigkeit

[0;1)[0; 1) · 60

[1;2)[1; 2) · 43

[2;3)[2; 3) · 30

[3;4)[3; 4) · 21

[4;5)[4; 5) · 15

[5;6)[5; 6) · 11

[6;7)[6; 7) · 8

[7;8)[7; 8) · 5

[8;9)[8; 9) · 4

[9;10)[9; 10) · 3

[10;∞)[10; \infty) · 0

Bei einer genaueren Untersuchung der Resultate einer Drillsaatmaschine, welche die Körner ungenauer und im Mittel näher beieinander ablegt, hat man die im Material dargestellten Beobachtungen zu den Abständen benachbarter Körner gemacht. Es wird die Zufallsvariable ZZ: „Abstand zwischen zwei benachbarten Körnern innerhalb einer Reihe“ betrachtet.

4.1

Stellen Sie die Daten aus dem Material unter Verwendung der zugehörigen relativen Häufigkeiten in Form eines Säulendiagramms dar.

[4 BE]

4.2

Erläutern Sie anhand der Daten, warum zur Beschreibung der Verteilung des Kornabstands ZZ eine Exponentialfunktion ff der Form f(z)=a⋅e−b⋅zf(z) = a \cdot \mathrm{e}^{-b \cdot z}, a,b>0a, b > 0, für z≥0z \ge 0 als Dichtefunktion geeignet ist.

[2 BE]

4.3

Es gilt P(0≤Z≤u)=∫0uf(z) dz=ab⋅(1−e−b⋅u)P(0 \le Z \le u) = \int_0^u f(z)\,\mathrm{d}z = \frac{a}{b} \cdot (1 - \mathrm{e}^{-b\cdot u}) und somit lim⁡u→∞(P(0≤Z≤u))=ab\lim_{u \to \infty}(P(0 \le Z \le u)) = \frac{a}{b}.

Begründen Sie, dass hieraus a=ba = b folgt, und bestätigen Sie mithilfe der relativen Häufigkeit für das Intervall [0;1)[0; 1), dass a=b≈0,36a = b \approx 0{,}36 gilt.

[4 BE]

4.4

Die Verteilung des Kornabstands ZZ wird nun für z≥0z \ge 0 durch die Dichtefunktion ff mit f(z)=0,365⋅e−0,365⋅zf(z) = 0{,}365 \cdot \mathrm{e}^{-0{,}365\cdot z} modelliert. Es gilt beispielsweise P(0≤Z≤3)=∫03f(z) dz≈66,55 %P(0 \le Z \le 3) = \int_0^3 f(z)\,\mathrm{d}z \approx 66{,}55\,\%.

Erläutern Sie die Bedeutung dieses Ergebnisses im Sachzusammenhang und prüfen Sie, ob dieser Wert in guter Näherung mit der Häufigkeitsverteilung im Material übereinstimmt.

[3 BE]

Aufgabenstellung: Aufgabe C2.1 - 4 · Abitur Hessen Mathematik LK · WTR 2021

Lösung

Nach den offiziellen Korrekturhinweisen

4.1 Stellen Sie die Daten aus dem Material unter Verwendung der zugehörigen relativen Häufigkeiten in Form eines Säulendiagramms dar.

Lösung: Säulendiagramm mit den relativen Häufigkeiten: - [0;1):60200=0,30[0; 1): \frac{60}{200} = 0{,}30 - [1;2):43200=0,215[1; 2): \frac{43}{200} = 0{,}215 - [2;3):30200=0,15[2; 3): \frac{30}{200} = 0{,}15 - [3;4):21200=0,105[3; 4): \frac{21}{200} = 0{,}105 - [4;5):15200=0,075[4; 5): \frac{15}{200} = 0{,}075 - [5;6):11200=0,055[5; 6): \frac{11}{200} = 0{,}055 - [6;7):8200=0,04[6; 7): \frac{8}{200} = 0{,}04 - [7;8):5200=0,025[7; 8): \frac{5}{200} = 0{,}025 - [8;9):4200=0,02[8; 9): \frac{4}{200} = 0{,}02 - [9;10):3200=0,015[9; 10): \frac{3}{200} = 0{,}015 - [10;∞):0[10; \infty): 0

4.2 Erläutern Sie anhand der Daten, warum zur Beschreibung der Verteilung des Kornabstands Z eine Exponentialfunktion f der Form f(z) = a · e^(-b·z), a, b > 0, für z ≥ 0 als Dichtefunktion geeignet ist.

Lösung: Kornabstände von weniger als 1 cm treten am häufigsten auf. Anschließend nehmen die Häufigkeiten mit wachsendem Kornabstand monoton ab (Abstände von 10 cm oder mehr kommen nicht vor). Dieses Monotonieverhalten bildet (für z≥0z \ge 0) eine monoton fallende Exponentialfunktion, die sich für wachsende zz dem Wert 0 annähert, gut ab.

4.3 Begründen Sie, dass hieraus a = b folgt, und bestätigen Sie mithilfe der relativen Häufigkeit für das Intervall [0; 1), dass a = b ≈ 0,36 gilt.

Lösung: Lässt man die obere Grenze des Integrals beliebig groß werden, so werden alle möglichen Kornabstände erfasst. Der Integralwert gibt dann die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass der Abstand zwischen null und unendlich ist. Da über alle Abstände integriert wird, ist die zugehörige Wahrscheinlichkeit 1. Somit muss der Quotient ab\frac{a}{b} den Wert 1 annehmen, was nur für a=ba = b der Fall ist. P(0≤Z<1)=0,360,36⋅(1−e−0,36⋅1)≈30,23 %P(0 \le Z < 1) = \frac{0{,}36}{0{,}36} \cdot (1 - \mathrm{e}^{-0{,}36 \cdot 1}) \approx 30{,}23\,\% Dies entspricht in etwa dem Anteil der Körner mit einem Abstand von weniger als 1 cm (relative Häufigkeit: 60200=30 %\frac{60}{200} = 30\,\%). *Alternativ ist die Herleitung des Wertes für a und b ebenfalls zu akzeptieren.*

4.4 Erläutern Sie die Bedeutung dieses Ergebnisses im Sachzusammenhang und prüfen Sie, ob dieser Wert in guter Näherung mit der Häufigkeitsverteilung im Material übereinstimmt.

Lösung: Die Wahrscheinlichkeit, dass benachbarte Körner einen Abstand von maximal 3 cm besitzen, beträgt etwa 66,55 %66{,}55\,\%. Dies entspricht sehr gut den beobachteten Häufigkeiten gemäß dem Material, denn es gilt: 60+43+30200=66,5 %\frac{60 + 43 + 30}{200} = 66{,}5\,\%

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