1. Definición de número complejo y operaciones básicas
Flashcards
- ¿Qué es un número complejo?
- Un número que tiene una parte real y una parte imaginaria, de la forma a + bi.
- ¿Qué representa 'i' en los números complejos?
- La unidad imaginaria, donde i = √-1.
- ¿Cómo se calcula el conjugado de un número complejo a + bi?
- Cambiando el signo de la parte imaginaria: a - bi.
- ¿Cómo se suman dos números complejos a + bi y c + di?
- Sumando las partes reales y las partes imaginarias por separado: (a + c) + (b + d)i.
Preguntas tipo test
- ¿Cuál es la parte imaginaria del número complejo 3 + 4i?
- a) 3
- b) 4
- c) 4i
- d) 7
Respuesta: b) 4. La parte imaginaria de un número complejo es el coeficiente que acompaña a la unidad imaginaria 'i'. En este caso, es 4.
- ¿Cuál de las siguientes opciones representa un número imaginario puro?
- a) 5 + 0i
- b) 0 + 3i
- c) 2 + 2i
- d) 7 + 1i
Respuesta: b) 0 + 3i. Un número imaginario puro es aquel cuya parte real es cero. En este caso, 0 + 3i cumple con esta condición.
- Si z1 = 2 + 3i y z2 = 1 - i, ¿cuál es el resultado de z1 + z2?
- a) 3 + 2i
- b) 1 + 4i
- c) 3 + 4i
- d) 2 - 3i
Respuesta: a) 3 + 2i. Para sumar números complejos, se suman las partes reales y las partes imaginarias por separado: (2 + 1) + (3 - 1)i = 3 + 2i.
2. Operaciones con números complejos en forma polar
Flashcards
- ¿Cómo se multiplican dos números complejos en forma polar?
- Se multiplican los módulos y se suman los argumentos.
- ¿Cómo se dividen dos números complejos en forma polar?
- Se dividen los módulos y se restan los argumentos.
- ¿Cuál es la fórmula de De Moivre?
- (r(cos θ + i sen θ))^n = r^n(cos nθ + i sen nθ)
- ¿Qué representa el módulo de un número complejo?
- La distancia desde el origen al punto que representa el número complejo en el plano complejo.
Preguntas tipo test
- ¿Cuál es el resultado de multiplicar dos números complejos en forma polar?
- a) Se suman los módulos y se restan los argumentos.
- b) Se multiplican los módulos y se suman los argumentos.
- c) Se dividen los módulos y se multiplican los argumentos.
- d) Se restan los módulos y se dividen los argumentos.
Respuesta: b) Se multiplican los módulos y se suman los argumentos.. Al multiplicar números complejos en forma polar, se multiplican sus módulos y se suman sus argumentos.
- Al dividir dos números complejos en forma polar, ¿qué se hace con sus argumentos?
- a) Se suman los argumentos.
- b) Se multiplican los argumentos.
- c) Se restan los argumentos.
- d) Se elevan al cuadrado los argumentos.
Respuesta: c) Se restan los argumentos.. Al dividir números complejos en forma polar, los argumentos se restan.
- Si z = r(cos θ + i sen θ), ¿cuál es la forma polar de z^n?
- a) r^n(cos θ + i sen θ)
- b) r(cos nθ + i sen nθ)
- c) r^n(cos nθ + i sen nθ)
- d) nr(cos θ + i sen θ)
Respuesta: c) r^n(cos nθ + i sen nθ). La potencia n-ésima de un número complejo en forma polar es r^n(cos nθ + i sen nθ), según la fórmula de De Moivre.
3. Resolución de ecuaciones en el conjunto de los números complejos
Flashcards
- ¿Qué forma tienen las soluciones complejas de una ecuación cuadrática con coeficientes reales cuando el discriminante es negativo?
- Las soluciones son un par de números complejos conjugados.
- ¿Cómo se factoriza una ecuación de segundo grado si conoces sus dos soluciones complejas?
- Si las soluciones son z1 y z2, la ecuación se factoriza como (x - z1)(x - z2) = 0.
- ¿Qué significa resolver una ecuación en el conjunto de los números complejos?
- Encontrar todas las soluciones de la ecuación, tanto reales como imaginarias.
- ¿Qué es el conjugado de un número complejo y cómo se relaciona con las soluciones de ecuaciones polinómicas con coeficientes reales?
- El conjugado de a + bi es a - bi. Si a + bi es solución, y los coeficientes son reales, a - bi también lo es.
Preguntas tipo test
- ¿Cuál de las siguientes ecuaciones tiene como soluciones 2 + 4i y su conjugado?
- a) x² - 4x + 20 = 0
- b) x² + 4x - 20 = 0
- c) x² - 4x - 20 = 0
- d) x² + 4x + 20 = 0
Respuesta: a) x² - 4x + 20 = 0. Si las soluciones son 2 + 4i y 2 - 4i, la ecuación cuadrática se forma como (x - (2 + 4i))(x - (2 - 4i)) = 0. Desarrollando, obtenemos x² - 4x + 20 = 0.
- Una de las soluciones de la ecuación x³ + 2x² + 9x + 18 = 0 es x = -2. ¿Cuáles son las otras soluciones complejas?
- a) x = ±3
- b) x = ±3i
- c) x = 3 ± i
- d) x = -3 ± i
Respuesta: b) x = ±3i. Después de dividir el polinomio por (x + 2), obtenemos x² + 9 = 0. Las soluciones de esta ecuación son x = ±3i.
- ¿Cuáles son las soluciones reales de la ecuación x⁴ + x² - 12 = 0?
- a) x = ±2
- b) x = ±3
- c) x = 2, -3
- d) x = -2, 3
Respuesta: b) x = ±3. Esta ecuación se puede resolver como una ecuación cuadrática en x². Haciendo y = x², obtenemos y² + y - 12 = 0, que tiene soluciones y = 3 e y = -4. Por lo tanto, x² = 3 y x² = -4. Las soluciones reales son x = ±√3.
4. Soluciones a los ejercicios
Flashcards
- ¿Cuál es el conjugado del número complejo z = a + bi?
- a - bi
- ¿Cómo se calcula el módulo de un número complejo z = a + bi?
- |z| = √(a^2 + b^2)
- ¿Cuál es la forma polar de un número complejo?
- z = r(cos θ + i sin θ), donde r es el módulo y θ es el argumento.
- ¿Qué condición debe cumplir 'k' para que (k+3) + (k+7)i sea un número imaginario puro?
- k = -3
Preguntas tipo test
- ¿Cuál es el valor de 'k' para que el número complejo (2k+4) - (3k-9)i sea un número real?
- a) k = -2
- b) k = 3
- c) k = -3
- d) k = 2
Respuesta: b) k = 3. Para que un número complejo sea real, su parte imaginaria debe ser cero. Por lo tanto, (3k - 9) debe ser igual a 0. Resolviendo la ecuación 3k - 9 = 0, obtenemos k = 3.
- Si una de las raíces cuartas de un número complejo z es 1 + 3i, ¿cuál es este número complejo?
- a) 28 + 96i
- b) -28 - 96i
- c) -28 + 96i
- d) 28 - 96i
Respuesta: d) 28 - 96i. Para encontrar el número complejo original, elevamos la raíz cuarta a la cuarta potencia: (1 + 3i)^4 = (1 + 3i)^2 * (1 + 3i)^2 = (-8 + 6i) * (-8 + 6i) = 28 - 96i
- Si z = a + bi es un número complejo, ¿qué representa z * z (z multiplicado por su conjugado)?
- a) 2a
- b) 2bi
- c) a^2 - b^2
- d) a^2 + b^2
Respuesta: d) a^2 + b^2. El producto de un número complejo por su conjugado es igual a la suma de los cuadrados de sus partes real e imaginaria: z * z = (a + bi)(a - bi) = a^2 + b^2.
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Texto del documento
Matemàtiques de 1r de Batxillerat Exercicis de nombres complexos Exercicis de nombres complexos Definició de nombre complex 1. Calcula les següents arrels quadrades: a) 16 b) 2 c) 72 d) 49 16 2. Quin ha de ser el valor de k perquè el nombre complex (2k+4) (3k 9)i sigui un nombre real? 3. Quin ha de ser el valor de k perquè el nombre complex (k+3) + (k +7)i sigui un nombre imaginari pur? 4. Resol en el conjunt dels nombres complexos, les equacions següents: a) x2 + 169 = 0 b) 75 x2 + 48 = 0 c) x2 + x + 1 = 0 d) x2 + 4 x + 5 = 0 e) x2 4 x + 13 = 0 5. Donats els nombres complexos z1 =2+(2 m 10)i i z2 =(m 3)+2i, amb m , existeix algun valor de m que verifiqui que z1 =z2 ? 6.
Representa els afixos dels nombres complexos z1 = 4, z2 =2i, z3 =5+2i i z4 =1 4i. 7. Representa els afixos dels següents nombres i dels seus oposats i conjugats: a) z1 = 4 + 2i b) z2 = 3 4i c) z3 = 3 i d) z4 = 3 8. Escriu els nombres complexos següents en forma polar i en forma trigonomètrica: a) z1 = 3 + i b) z2 = 6 6i c) z3 = 12i d) z4 = 0 9. Escriu els següents nombres en forma binòmica: a) z1 = 6315 ° b) z2 = 10210° c) z3 = 490° d) z4 = 2180° 10. Escriu en forma polar el nombre complex z = 1 + 3i, el seu conjugat i el seu oposat. Matemàtiques de 1r de Batxillerat Exercicis de nombres complexos Operacions amb nombres complexos en forma binòmica 11.
Calcula les sumes i restes següents: a) (9 + 11i) + (5 + i) = b) (7 3i) (2 5 i) = c) 3i + (8 + 2i) = d) ( 11 6 i) ( 2 + 3 i) = 12. Calcula els productes següents: a) (6 + 3i) ( 4 + 2i) = b) (3 2i) (4 i) = c) 5i (3 + 7i) = d) ( 1 + 2i) (3 + 4 i) = 13. Calcula les divisions següents: a) 15 + 25i 4 + 2 i = b) 2 3 i 3 2 i = c) 3 i 1 + 3 i = d) 6 4i i = 14. Calcula k perquè els següents resultats siguin nombres reals: a) (5 4i) + ( 3 + k i) b) (k 12i) (8 3k i) c) (6 + 7i) (9 11k i) d) 5 4i 2 + k i 15. Calcula: 10 4 i 2 + i + 6 + 3 i 1 2 i 1 3i 1 + 3i = 16. Se sap que el quocient 3 + 2 λi 2 + i , amb λ , és un nombre real. Troba el valor de λ.
Quin hauria de ser el valor de λ perquè aquest quocient fos imaginari pur? 17. Troba el valor de λ que fa que el resultat de fer la divisió 2 + i λ + i tingui un afix representat a la bisectriu del primer i del tercer quadrants. 18. Calcula les potències següents en forma binòmica: a) (6i) 3 = b) ( 2 i) 7 = c) (2i) 10 = d) (3 5i) 15 = e) (3 + i) 3 = f) (1 i) 4 = g) (2 + 3i) 5 = h) ( 2 2i) 6 = Matemàtiques de 1r de Batxillerat Exercicis de nombres complexos 19. Demostra que per a qualsevol nombre complex z = a + b i es verifica que: a) z + z és un nombre real b) z z és un nombre imaginari pur c) z z és un nombre real Operacions amb nombres complexos en forma polar 20.
Calcula les multiplicacions i divisions següents en forma polar: a) ( 3 + i) ( 2 + 2i) = b) (2 + i) 245° = c) 3 + 5 i 4 + i = d) ( 3 2 + 1 2 i ) ( 3 2 1 2 i )= e) 1 i 1 + i = 21. Calcula les potencies següents en forma polar: a) ( 2 + 6 i) 4 = b) ( 1 i)11 = c) (3 3 i) 5 = d) (2 + 2i) 3 = e) ( 3 2 + 1 2 i ) 333 = 22. Donat el nombre complex z = 2 + 3 2 i, expressa en forma polar i binòmica i representa gràficament els afixos de z i de l'invers de z. 23. Expressa en forma polar i binòmica i representa gràficament els afixos de les arrels quartes del nombre complex 64. 24. Troba les arrels vuitenes del nombre complex 1.
Demostra que el producte de dues qualssevol d'aquestes arrels és també una arrel. 25. Una de les arrels quartes d'un nombre complex z és 1 + 3i. Quin és aquest nombre complex? Quines són les altres tres arrels? Expressa els resultats en la forma més adient. 26. Escriu en forma els polars els nombres complexos afixos que tenen per afixos els vèrtexs del pentàgon regular de la següent figura. Expressa els resultats en la forma més adient. Matemàtiques de 1r de Batxillerat Exercicis de nombres complexos Resolució d'equacions en el conjunt dels nombres complexos 27. Escriu una equació de segon grau que tingui com a solucions 2 + 4 i i el seu conjugat. 28.
Resol en el conjunt dels nombres complexos, les equacions següents: a) x3 + 2 x2 + 9 x + 18 = 0 b) x4 + x2 12 = 0 c) x6 7 x3 8 = 0 d) x6 2 x5 + 2 x4 x2 + 2 x 2 = 0 Matemàtiques de 1r de Batxillerat Exercicis de nombres complexos Solucions 1. a) ±4 i b) ± 2i c) ±6 2i d) ± 7 4 i 2. k = 3 3. k = 3 4. a) x = ±13i b) x = ± 4 5 i c) x = 1 2 ± 3 2 i d) x = 2±i e) x = 2±3i 5. No hi ha cap valor de m que satisfaci a la vegada m 3 = 2 i 2m 10 = 2 6. 7. a) z1 = 4 2i z1 = 4 2i b) z2 = 3 + 4 i z2 = 3 + 4i c) z3 = 3i z3 = 3 i d) z4 = 3 z4 = 3 8.
a) z1 = 2150° = 2 (cos150 °+i sin150°) b) z2 = 2 3 45° = 2 3 (cos( 45°)+i sin( 45°)) c) z3 = 12 90° = 12 (cos( 90°)+i sin( 90°)) d) No està definida la forma polar d'aquest nombre. 9. a) z1 = 3 3i b) z2 = 5 3 5 i c) z3 = 4i d) z4 = 2 10. z = 260° z = 2 60° = 2300° z = 2 120° = 2240° 11. a) 14 + 16i b) 5 + 2i c) 8 + 5i d) 9 9i 12. a) 30 b) 10 11i c) 35 + 15i d) 11 + 2i Matemàtiques de 1r de Batxillerat Exercicis de nombres complexos 13. a) 11 2 + 7 2 i b) 12 13 5 13 i c) 9 10 + 3 10 i d) 4 6 i 14. a) k = 4 b) k = 4 c) k = 21 22 d) k = 8 5 15. 4 16. El quocient és real si λ= 3 4 i és imaginari si λ= 3. 17. λ= 3 18. a) 216 i b) 128i c) 1024 d) 3125i e) 18 + 26i f) 2 2i g) 122 597 i h) 64i 19.
a) z + z = 2a b) z z = 2bi c) z z = a2 +b2 20. a) 475° b) 1071,57° c) 245° d) 10° =1 e) 1270° = i 21. a) 64240° b) 32 2315° c) 288 3210° d) ( 3 32)225 ° e) 1270° = i 22. z = 2 + 3 2 i = (5 2 )36,87° z 1 = 8 25 6 25 i = (2 5) 36,87° 23. z1 = 2 245° = 2 + 2 i z2 = 2 2135 ° = 2 2i z3 = 2 2225 ° = 2 2i z4 = 2 2315° = 2 + 2i 24. zi = 1i 45° amb i {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} (zi zj) 8 = zi 8 zj 8 = 1 1 = 1 25. El nombre complex és 28 96i. Les altres tres arrels són z2 = 3 + i, z3 = 1 3i i z4 = 3 + i. 26. z1 = 2135 ° z2 = 2207 ° z3 = 2279 ° z4 = 2351° z5 = 263° 27. Per exemple: x2 4 x + 20 = 0 28.
a) x1 = 2, x2 = 3i i x3 = 3 i b) x1 = 3, x2 = 3, x3 = 2i i x4 = 2i c) x1 = 20 ° , x2 = 2120 ° , x3 = 2240° , x4 = 1180° , x5 = 1300 ° i x6 = 160° d) x1 = 1, x2 = 1, x3 = i, x4 = i, x5 = 1 + i i x6 = 1 i