Ejercicio 2.-SISTEMA DIÉDRICO · Dibujo técnico II PAU Navarra Extraordinaria 2025

DIBUJA LAS PROYECCIONES DEL TETRAEDRO, SABIENDO QUE UN VÉRTICE DE LA ARISTA QUE PASA POR EL PUNTO N, TIENE 15 MM DE COTA Y MAYOR ALEJAMIENTO POSIBLE.

Solución: Pasos de resolución en sistema diédrico: 1. Análisis del segmento $MN$: - $M(-90, 40, 50)$ y $N(-30, 40, 50)$ tienen igual alejamiento ($40\text{ mm}$) e igual cota ($50\text{ mm}$). Por tanto, el segmento $MN$ es una recta paralela a la línea de tierra (horizontal y frontal). - Su longitud en verdadera magnitud es directa: $d = 90 - 30 = 60\text{ mm}$. 2. Cálculo de la arista $a$ del tetraedro: - La distancia mínima entre dos aristas opuestas en un tetraedro regular cumple $d = \frac{a\sqrt{2}}{2} = \frac{a}{\sqrt{2}}$. - Con $d = 60\text{ mm}$, la arista del tetraedro mide $a = d\sqrt{2} = 60\sqrt{2} \approx 84.85\text{ mm}$. 3. Plano de la arista que pasa por $N$: - La arista que pasa por $N$ (arista $CD$) es perpendicular a $MN$, por lo que se encuentra en un plano de perfil que pasa por $N$ ($x = -30$). - El punto medio es $N(-30, 40, 50)$ y la longitud de la arista es $a$, por lo que la distancia desde $N$ a cada vértice es $a/2 = 30\sqrt{2} \approx 42.43\text{ mm}$. - Abatiendo el plano de perfil (o proyectando de perfil): se busca el vértice $C$ que tiene cota $z = 15\text{ mm}$. En el perfil, con centro en $N$ y radio $a/2$, la recta horizontal de cota $15$ corta en dos puntos; se elige el de mayor alejamiento. - El vértice opuesto $D$ es el simétrico de $C$ respecto a $N$: $D = 2N - C$. 4. Arista opuesta que pasa por $M$: - La arista que pasa por $M$ (arista $AB$) se sitúa en el plano de perfil que pasa por $M$ ($x = -90$). - Además, las aristas opuestas de un tetraedro son ortogonales entre sí. Por tanto, en el perfil la dirección de $AB$ es perpendicular a la de $CD$. - A partir de $M$, se sitúan los vértices $A$ y $B$ a distancia $a/2$ a cada lado sobre dicha perpendicular. 5. Representación final del poliedro: - Se desabaten/determinan las proyecciones horizontal y vertical de los cuatro vértices $A, B, C, D$. - Se unen las aristas del tetraedro y se determina la visibilidad (partes vistas y ocultas) en ambas proyecciones.