Problema 4 · Dibujo técnico II PAU Navarra Extraordinaria 2022

1- Determina el eje mayor de la hipérbola. 2- Determina el punto P que dista 30 mm de F. 3- Dibuja la recta tangente en P.

Solución: Construcción geométrica completa: 1. Determinación del eje mayor ($2a$): - El centro $O$ de la hipérbola es la intersección entre el eje real (eje focal horizontal) y el eje imaginario $CD$ (vertical). - Se tienen las magnitudes: semieje menor $b = OC = OD = 15\text{ mm}$ y semidistancia focal $c = OF = 20\text{ mm}$. - En la hipérbola se cumple la relación métrica $c^2 = a^2 + b^2$, por lo que $a = \sqrt{c^2 - b^2} = \sqrt{20^2 - 15^2} = \sqrt{175} \approx 13{,}23\text{ mm}$. - Geométricamente, se construye un triángulo rectángulo de hipotenusa $c = 20\text{ mm}$ y cateto $b = 15\text{ mm}$, siendo el otro cateto el semieje mayor $a$. Se traslada esta longitud sobre el eje focal a ambos lados de $O$ para obtener los vértices $A$ y $B$, quedando determinado el eje mayor $2a$. 2. Determinación del punto $P$: - Se sitúa el segundo foco $F'$ por simetría respecto a $O$ ($OF' = OF = 20\text{ mm}$). - Por definición de la hipérbola, $|r_1 - r_2| = 2a$. Como dista $r_1 = PF = 30\text{ mm}$, para estar en la misma rama (rama izquierda próxima a $F$) se tiene $PF' = r_1 + 2a = 30 + 2a$ (o bien $30 - 2a$ si estuviera en la rama derecha). - Con centro en $F$ se traza un arco de radio $30\text{ mm}$ y con centro en $F'$ un arco de radio $30 + 2a$. Su intersección determina el punto $P$ de la curva. 3. Recta tangente en $P$: - Se trazan los radios vectores $PF$ y $PF'$. - La tangente a la hipérbola en $P$ es la bisectriz interior del ángulo que forman los radios vectores $PF$ y $PF'$ (o bien la mediatriz del segmento que une un foco con el punto homólogo del otro foco sobre la circunferencia focal).