Ejercicio 2.1 · Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II PAU La Rioja Extraordinaria 2022

Tema: Estudio y representación de funciones racionales · Del examen Extraordinaria (2022)

Enunciado

El diseño del nuevo logo de Climbing Sports se ajusta en altura a la gráfica de la siguiente función:

f(x)={xsi 0≤x<1,2x+asi 1≤x<2,b(x−3)2si 2≤x≤3.f(x) = \begin{cases} x & \text{si } 0 \le x < 1, \\ 2x + a & \text{si } 1 \le x < 2, \\ b(x - 3)^2 & \text{si } 2 \le x \le 3. \end{cases}

2.1.- Consideramos la función ff dada (en los valores reales xx donde la expresión tiene sentido) por

f(x)=3x−2x−1f(x) = \frac{3x - 2}{x - 1}

(i)

¿Cuál es el dominio de dicha función? [0.3 puntos]

(ii)

Calcula la derivada f′(x)f'(x). ¿En qué puntos xx es f′(x)=−1f'(x) = -1? ¿En cuáles es f′(x)=1f'(x) = 1? ¿Tiene ff extremos relativos? [1.1 puntos]

x1=x_1 =

x2=x_2 =

(iii)

Dibuja la gráfica de ff, señalando los cortes con los ejes y las asíntotas horizontales y verticales. [1.1 puntos]

Enunciado: Ejercicio 2.1 · Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II PAU La Rioja Extraordinaria 2022

Solución

Según los criterios oficiales de corrección

(i) ¿Cuál es el dominio de dicha función?

Solución: R∖{1}\mathbb{R} \setminus \{1\}

(ii) Calcula la derivada f′(x)f'(x).

Solución: f′(x)=−1(x−1)2f'(x) = -\frac{1}{(x-1)^2}

(ii) ¿En qué puntos xx es f′(x)=−1f'(x) = -1?

Solución: x=0x = 0 y x=2x = 2

(ii) ¿En cuáles es f′(x)=1f'(x) = 1?

Solución: En ningún punto

(ii) ¿Tiene ff extremos relativos?

Solución: No tiene

¿Tiene extremos relativos? Justifica o indica si tiene:

Solución: no tiene / no / ninguno / no tiene extremos relativos / no hay

(iii) Dibuja la gráfica de ff, señalando los cortes con los ejes y las asíntotas horizontales y verticales.

Solución: Hipérbola equilátera trasladada con asíntota vertical en x=1x = 1, asíntota horizontal en y=3y = 3, corte con el eje YY en (0,2)(0, 2) y corte con el eje XX en (2/3,0)(2/3, 0).

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