Pregunta 1 · Dibujo técnico II PAU La Rioja Extraordinaria 2024

Dibujar la circunferencia tangente a la recta t, que pasa por el punto P y que tiene su centro en r. Dibujar una circunferencia que sea a la vez tangente a la circunferencia anterior y a las rectas t y r.

Solución: 1. Circunferencia c1 (pasa por P, centro en r, tangente a t): - Como el centro O1 está en r y P está en r, la recta r es un diámetro de c1 y la perpendicular p a r por P es tangente a c1 en P. - Por tanto c1 es tangente a las dos rectas p y t, y su centro está en una bisectriz del ángulo que forman. - Se traza p ⟂ r por P y se llama Q al punto donde p corta a t. - Se traza la bisectriz del ángulo en Q entre p y t. Su corte con r es O1. - Con centro O1 y radio R1 = O1P se dibuja c1, que es tangente a t en el pie de la perpendicular desde O1 a t. - La otra bisectriz en Q da una segunda solución, con el centro al otro lado de P. 2. Circunferencia c2 (tangente a r, a t y a c1): - O2 está en la bisectriz b del ángulo que forman r y t, con vértice V. - Para tangencia exterior, O1O2 = R1 + R2 y d(O2, r) = d(O2, t) = R2. - Se trazan r' y t', paralelas a r y t a distancia R1, por el lado opuesto al de c2. Así d(O2, r') = d(O2, t') = R2 + R1 = O2O1. - El problema se reduce a una circunferencia que pasa por O1 y es tangente a r' y t'. Su centro sigue en b, que pasa por el vértice V' de r' y t'. - Esto se resuelve por homotecia de centro V': - Se dibuja una circunferencia auxiliar de centro A en b, tangente a r' y t'. - La recta V'O1 la corta en un punto M. - La paralela por O1 a AM corta a b en O2. - Hay dos soluciones, una por cada punto M. - El radio es R2 = d(O2, r). El punto de tangencia con c1 está en la recta O1O2. - Las soluciones con tangencia interior se obtienen igual, desplazando las paralelas R1 hacia el otro lado.