Pregunta A1 · Dibujo técnico II PAU Castilla y León Ordinaria 2024

Pregunta A1. Trazado de circunferencias tangentes y curva de enlace en el cuadrado ABCD

Solución: 1. Ejes y centro del cuadrado: Hallar el centro $O$ del cuadrado mediante las diagonales $AC$ y $BD$, y trazar las dos mediatrices perpendiculares que unen los puntos medios de los lados opuestos. 2. Apartado a) Determinación de las 4 circunferencias interiores: - Los centros $O_1, O_2, O_3, O_4$ de las cuatro circunferencias están situados sobre las mediatrices de los lados. - Sea $L$ el lado del cuadrado y $M$ el punto medio de un lado. Como la distancia de $O$ a $M$ es $\frac{L}{2}$, la distancia del centro $O_i$ a $M$ es el radio $r$, luego la distancia de $O$ a $O_i$ es $\frac{L}{2} - r$. - Como las 4 circunferencias forman un cuadrado de centros de lado $2r$, la distancia de $O$ a cada centro es también $r\sqrt{2}$. - Igualando: $\frac{L}{2} - r = r\sqrt{2} \implies r(1 + \sqrt{2}) = \frac{L}{2} \implies r = \frac{L}{2(\sqrt{2} + 1)} = \frac{L(\sqrt{2}-1)}{2}$. - Gráficamente: desde el punto medio $M$, abatiendo o llevando la diagonal del semicuadrado, se obtiene el segmento $r$ sobre la mediatriz. Con ese radio $r$ y centros $O_1, O_2, O_3, O_4$, se trazan las 4 circunferencias tangentes entre sí en las diagonales y a los lados en sus puntos medios. 3. Apartado b) Las 4 circunferencias en los vértices: - Con centro en cada vértice ($A, B, C, D$), se une el vértice con los centros de las dos circunferencias interiores más próximas (por ejemplo, unir $A$ con $O_1$ y con $O_2$). - La recta $A-O_1$ corta a la circunferencia de centro $O_1$ en el punto de tangencia exterior $T$. - Con centro en el vértice y radio hasta dicho punto $T$, se traza la circunferencia (o arco de enlace). 4. Apartado c) Enlace y resultado final: - Se señalan con precisión todos los puntos de tangencia sobre las rectas que unen los centros. - Se repasan con línea continua gruesa los 8 arcos que configuran la curva lobulada cerrada.