Ejercicio 6 b) · Matemáticas II PAU Castilla-La Mancha Extraordinaria 2022

b) [1 punto] Enuncia el teorema de Bolzano. Utiliza este teorema para razonar que la función $f(x) = (2e^x - 8x - 3) / (x^2 + 2)$ corta al eje de abscisas al menos una vez.

Solución: El teorema de Bolzano afirma que si una función $f(x)$ es continua en un intervalo cerrado $[a, b]$ y cumple que $f(a)$ y $f(b)$ tienen signos opuestos, entonces existe al menos un punto $c \in (a, b)$ tal que $f(c) = 0$. La función dada es continua en todo $\mathbb{R}$ ya que el denominador $x^2 + 2 \neq 0$. Evaluando, por ejemplo, en $x = 0$ se tiene $f(0) = -1/2 < 0$, y para un valor grande como $x = 10$, $f(10) > 0$. Por el teorema de Bolzano, existe al menos una raíz en dicho intervalo.