Problema 2 · Matemáticas II PAU Castilla-La Mancha Ordinaria 2023

a) Enuncia el teorema de Bolzano.

Solución: Sea $f(x)$ una función continua en el intervalo cerrado $[a, b]$ y tal que $f(a) \cdot f(b) < 0$, entonces existe $c \in (a, b)$ tal que $f(c) = 0$.

b) Sea la función f(x) = x³ + 6x² + 3x - 10. Utiliza el teorema de Bolzano para justificar que esta función tiene al menos una raíz en el intervalo [0, 2].

Solución: f(x) es continua en [0, 2] por ser polinómica, f(0) = -10 < 0 y f(2) = 28 > 0, luego existe c ∈ (0, 2) con f(c) = 0.

c) ¿Podría f(x) tener más de una raíz en el intervalo [0, 2]? Justifica tu respuesta.

Solución: No, porque f'(x) = 3x² + 12x + 3 > 0 en [0, 2], por lo que f(x) es estrictamente creciente y solo puede cortar al eje una vez.