Ejercicio 1.2 · Dibujo técnico II PAU Cantabria Extraordinaria 2023

Se pide: 1. Obtener el foco (F), el vértice (V) y el eje (e) de la parábola. 2. Hallar los puntos de tangencia (T1 y T2) de r y s con la parábola. 3. Dibujar 2 puntos (P y Q) exactos de la parábola que disten 7 cm del foco.

Solución: Construcción gráfica completa de la parábola: 1. Foco (F), vértice (V) y eje (e): - Se prolongan las tangentes $r$ y $s$ hasta su intersección con la directriz $d$, obteniendo los puntos de corte $P_r$ y $P_s$. - Dado que la tangente es bisectriz entre la directriz y el segmento que une su punto de corte con el foco, el simétrico del foco respecto a cualquier tangente está en la directriz. De forma equivalente, trazando por los puntos de corte rectas simétricas a la directriz respecto a las tangentes, su intersección determina el foco $F$. - El eje $e$ de la parábola es la recta perpendicular a la directriz $d$ trazada desde el foco $F$. - La intersección del eje $e$ con la directriz da el punto $D$. El vértice $V$ es el punto medio del segmento $FD$. 2. Puntos de tangencia ($T_1$ y $T_2$): - Desde el foco $F$, se traza el segmento perpendicular a cada tangente hasta la directriz, o bien se proyecta perpendicularmente a la directriz desde el punto simétrico de $F$ respecto a la tangente; la recta paralela al eje trazada por dicho punto simétrico en la directriz corta a la tangente correspondiente en el punto de tangencia ($T_1$ sobre $r$, $T_2$ sobre $s$). 3. Puntos $P$ y $Q$ a $7\text{ cm}$ del foco: - Por definición de la parábola, la distancia de cualquier punto al foco es igual a su distancia a la directriz. Por tanto, los puntos que distan $7\text{ cm}$ del foco también distan $7\text{ cm}$ de la directriz $d$. - Se traza una recta paralela a la directriz $d$ a una distancia de $7\text{ cm}$ (hacia el semiplano que contiene al foco). - Con centro en el foco $F$ y radio $7\text{ cm}$, se traza un arco de circunferencia que corta a dicha paralela en los dos puntos buscados $P$ y $Q$.